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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形
第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、 填空题
1. 若α为第二象限角，则＋的值是________．
答案：0
解析：因为α为第二象限角，所以sin α＞0，＝1，tan α＜0，＝－1，所以＋＝0.
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________．
答案：－
解析：因为点A的纵坐标yA＝，且点A在第二象限．又圆O为单位圆，所以点A的横坐标xA＝－.由三角函数的定义可得cos α＝－.
3. 已知角α的终边经过点P(2，－1)，则＝________．
答案：－3
解析：由题意得sin α＝－，cos α＝，所以＝－3.
4. (2017泰州模拟)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝________．
答案：－
解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝，所以x＝，解得x＝－3，所以tan α
＝＝－.
5. 函数y＝的定义域为________．
答案：(k∈Z)
解析：∵ 2sin x－1≥0，∴ sin x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴ x∈(k∈Z)．
6. 若420角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为________．
答案：－4
解析：由三角函数的定义有tan 420＝.又tan 420＝tan (360＋60)＝tan 60＝，故＝，解得a＝－4.
7. 点P从(1，0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．
答案：
解析：由弧长公式l＝|α|r，l＝，r＝1得点P按逆时针方向转过的角度为α＝，所以点Q的坐标为，即.
8. 已知角α的终边在直线y＝－x上，则2sin α＋cos α＝________．
答案：或－
解析：由题意知tan α＝－，∴ α在第二象限或第四象限，
故sin α＝，cos α＝－或sin α＝－，cos α＝，
∴ 2sin α＋cos α＝或－.
9. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是__________．
答案：
解析：如图，∠AOB＝2弧度，过点O作OC⊥AB于C，并延长OC交弧AB于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝BC＝1.
在Rt△AOC中，AO＝＝.
即r＝，从而弧AB的长为l＝|α|r＝.
10. 已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为________．
答案：
解析：∵ sin ＝，cos ＝－，∴ 角x的终边经过点，所以角x是第四象限角，tan x＝＝－，∴ x＝2kπ＋，k∈Z，∴ 角x的最小正值为.(也可用同角基本关系式tan x＝得出)
11. 设θ是第三象限角，且＝－cos，则sin的值的符号是________．
答案：＋
解析：由于θ是第三象限角，所以2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，kπ＋<
0.
二、 解答题
12. 如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求点P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．
解：设点P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t＋t＝2π.
所以t＝4(秒)，即点P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒．
设点P，Q第一次相遇点为C，第一次相遇时点P和点Q已运动到终边在4＝的位置，
则xC＝－cos 4＝－2，yC＝－sin 4＝－2.
所以点C的坐标为(－2，－2)．
点P走过的弧长为44＝，点Q走过的弧长为44＝.
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.
(1) 若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2) 若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3) 若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
解：(1) 由题意可得B，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.
(2) 若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝.
故与角α终边相同的角β的集合为{β＋2kπ，k∈Z}．
(3) 若α∈，则S扇形AOB＝αr2＝α，α∈.
而S△AOB＝11sin α＝sin α，
故弓形AB的面积S＝S扇形AOB－S△AOB＝α－sin α，α∈.第2课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
一、 填空题
1. sin 750＝________．
答案：
解析：sin 750＝sin (2360＋30)＝sin 30＝.
2. 若α∈，sin α＝－，则cos(－α)的值为________．
答案：
解析：因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos (－α)＝.
3. (2017镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝________．
答案：－
解析：因为α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，故tan α＝＝－.
4. 已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是________．
答案：
解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3.又α为锐角，故sin α＝.
5. (2017射阳县中模拟)若f(tan x)＝sin2x－5sin xcos x, 则f(5)＝________．
答案：0
解析：由已知得f( tan x)＝＝，所以f(5)＝＝0.
6. 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________．
答案：－
解析：由sin θ－2cos θ＝－，sin2θ＋cos2θ＝1，θ是第三象限角，得sin θ＝－，cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝－.
7. 已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．
答案：
解析：sin (π－α)＝sin α＝log8＝－.
又α∈，得cos α＝＝，
tan (2π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－＝.
8. 已知sin θ＝2cos θ，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝________．
答案：
解析：由 sin θ＝2cos θ，得 tan θ＝2.
sin2θ＋sin θ cos θ－2cos2θ＝＝＝＝.
9. 设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝________．
答案：
解析：由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，所以f＝f＝f＝f＝f＋sinπ.因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f＝0＋＝.
10. 已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为________．
答案：－3
解析：∵ f(4)＝asin (4π＋α)＋bcos (4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，∴ f(2 017)＝asin (2 017π＋α)＋bcos (2 017π＋β)＝asin (π＋α)＋bcos (π＋β)＝－asin α－bcos β＝－(asin α＋bcos β)＝－3.
二、 解答题
11. 已知＝－，求的值．
解：由同角三角函数关系式1－sin2α＝cos2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，可得(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以＝，所以＝－，即＝.
12. 已知f(x)＝(n∈Z)．
(1) 化简f(x)的解析式；
(2) 求f＋f的值．
解：(1) 当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝＝
＝＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝＝＝sin2x.
综上，f(x)＝sin2x.
(2) 由(1)得f＋f
＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
13. 是否存在角α和β，当α∈，β∈(0，π)时，等式同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
解：存在α＝，β＝使等式同时成立．
由
得
两式平方相加，得sin2α＋3cos2α＝2，
得到cos2α＝，即cos α＝.
因为α∈，所以cos α＝，所以α＝或α＝－.
将α＝代入cos α＝cos β，得cos β＝.
由于β∈(0，π)，所以β＝.
将α＝－代入sin α＝sin β，得sin β＝－.由于β∈(0，π)，这样的角β不存在．
综上可知，存在α＝，β＝使等式同时成立．第3课时 三角函数的图象和性质
一、 填空题
1. (必修4P33例4改编)函数y＝－tan＋2的定义域为____________．
答案：
解析：由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.
2. (2017珠海调研改编)要得到函数y＝sin的图象，只需要将函数y＝sin 2x的图象作平移变换：____________.
答案：向左平移个单位
解析：y＝sin＝sin 2，所以要得到函数y＝ sin 的图象，只需要将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位．
3. (2017南京、盐城一模)将函数y＝3sin的图象向右平移φ个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________．
答案：
解析：由题意得y＝3sin为偶函数，所以－2φ＋＝＋kπ(k∈Z)．又0<φ<，所以φ＝.
4. 函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别是________．
答案：2，－2
解析：y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－(sin x＋1)2＋2.由－1≤sin x≤1知，当sin x＝－1时，y取最大值2；当sin x＝1时，y取最小值－2.
5. 若函数y＝cos(ω∈N)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为____________．
答案：2
解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)⇒ωmin＝2.
6. (2017苏北四市第三次调研)若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是________．
答案：
解析：由题意可得2sin(20＋φ)＝，∴ sin φ＝，φ＝，f(x)＝2sin，函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是.
7. (2017南京调研)如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，2π))图象的一部分，则f(0)的值为________．
答案：
解析：由函数图象得A＝3，＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝，所以f(x)＝3sin.因为(3，0)为函数f(x)＝3sin的一个下降零点，所以3＋φ＝(2k＋1)π(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．因为φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝3sin，则f(0)＝3sin＝.
8. 若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω的值为________．
答案：
解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤＜，
则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin ＝，且0＜＜，所以＝，解得ω＝.
9. 函数f(x)＝sin πx＋cos πx＋|sin πx－cos πx|对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为__________．
答案：
解析：依题意得，当sin πx≥cos πx时，f(x)＝2sin πx；当sin πx0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是____________．
答案：
解析：由－＋2kπ≤ωx－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.取k＝0，得－≤x≤.因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，所以≥，即ω≤.又ω>0，所以ω的取值范围是.
11. (原创)已知函数f(x)＝cos2x＋sin x，那么下列命题中是真命题的是________．(填序号)
① f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
② f(x)是周期函数；
③ f(x)在[－π，0]上恰有一个零点；
④ f(x)在上是增函数；
⑤ f(x)的值域为[0，2]．
答案：①②④
解析：∵ f＝1，f＝－1，即f(－x)≠f(x)，
∴ f(x)不是偶函数．
∵ x∈R，f(0)＝1≠0，∴ f(x)不是奇函数，故①为真命题．∵ f(x)＝f(x＋2π)，∴ T＝2π，故函数f(x)为周期函数，故②为真命题．令f(x)＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝0，则sin2x－sin x－1＝0，解得sin x＝，当x∈[－π，0]时，sin x＝，由正弦函数图象可知函数f(x)在[－π，0]上有两个零点，故③为假命题．∵ f′(x)＝2cos x(－sin x)＋cos x＝cos x(1－2sin x)，当x∈时，cos x<0，0，
∴ f(x)在上是增函数，故④为真命题．f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1＝－＋，由－1≤sin x≤1得f(x)的值域为，故⑤为假命题．
二、 解答题
12. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的周期为π，且图象上有一个最低点为M.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 求使f(x)＜成立的x的取值集合．
解：(1) 由题意知，A＝3，ω＝2，由3sin＝－3，得φ＋＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－π＋2kπ，k∈Z.
而0＜φ＜，所以k＝1，φ＝.
故f(x)＝3sin.
(2) f(x)＜等价于3sin＜，即
sin＜，
于是2kπ－＜2x＋＜2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－＜x＜kπ(k∈Z)，
故使f(x)＜成立的x的取值集合为{x|kπ－＜x＜kπ，k∈Z}．
13. (2017扬州中学质检)如图，函数y＝2cos(ωx＋φ)的部分图象与y轴交于点(0，)，最小正周期是π.
(1) 求ω，φ的值；
(2) 已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
解：(1) 将点(0，)代入y＝2cos(ωx＋φ)，得cos φ＝.
∵ 0≤φ≤，∴ φ＝.
∵ 最小正周期T＝π，且ω>0，∴ ω＝＝2.
(2) 由(1)知y＝2cos.
∵ A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，
∴ P.
∵ 点P在y＝2cos的图象上，
∴ 2cos＝，∴ cos＝－.
∵ x0∈，∴ 4x0＋∈，
∴ 4x0＋＝2π＋π－或4x0＋＝2π＋π＋，
∴ x0＝或.第4课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、 填空题
1. cos 15的值是____________．
答案：
解析：cos15＝cos(60－45)＝.
2. 计算：cos 42cos 18－cos 48sin 18＝_________．
答案：
解析：原式＝sin 48cos 18－cos 48sin 18
＝sin (48－18)
＝sin 30
＝.
3. 设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则cos(α＋β)的值为________．
答案：
解析：∵ α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，
∴ cos α＝，sin β＝，
∴ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝.
4. (2017苏锡常镇四市调研(二))已知α是第二象限角，且sin α＝，tan(α＋β)＝－2，则tan β＝________．
答案：
解析：由α是第二象限角，且sin α＝，得cos α＝－，tan α＝－3，所以tan β＝tan(α＋β－α)＝＝＝.
5. 已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)＝__________．
答案：
解析：由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin(β－)＝－，
所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－[－]＝.
6. 已知sin＋sin α＝，则sin＝__________.
答案：－
解析：sin ＋sin α＝⇒sin cos α＋cos sin α＋sin α＝⇒sin α＋cos α＝⇒sin α＋cos α＝，故sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝－(sin α＋cos α)＝－.
7. 若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝____________．
答案：
解析：由已知可得＝，即tan (α＋β)＝.
又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
8. 计算：＝________．
答案：1
解析：原式＝
＝
＝＝1.
9. 若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则 β＝________．
答案：
解析：∵ α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，
∴ sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝.∵ β是锐角，∴ β＝.
10. 如图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC，ED，则sin∠CED＝__________．
答案：
解析：因为四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝.
在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，
所以sin ∠BEC＝，cos ∠BEC＝.
sin ∠CED＝sin
＝cos ∠BEC－sin ∠BEC
＝＝.
二、 解答题
11. 在△ABC中，已知sin(A＋B)＝2sin(A－B)．
(1) 若B＝，求A；
(2) 若tan A＝2，求tan B的值．
解：(1) 由条件，得sin＝2sin(A－)，
∴ sin A＋cos A＝2.
化简，得sin A＝cos A，∴ tan A＝.
又A∈(0，π)，∴ A＝.
(2) ∵ sin(A＋B)＝2sin(A－B)，
∴ sin Acos B＋cos Asin B＝2(sin Acos B－cos Asin B)．
化简，得3cos Asin B＝sin Acos B.
又cos Acos B≠0，∴ tan A＝3tan B.
又tan A＝2，∴ tan B＝.
12. 已知α∈，且sin ＋cos ＝.
(1) 求cos α的值；
(2) 若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
解：(1) 已知sin＋cos＝，两边同时平方，
得1＋2sincos＝，则sin α＝.
又<α<π，所以cos α＝－＝－.
(2) 因为<α<π，<β<π，所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.
则cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－＋＝－.
13. 已知函数f(x)＝sin ωxcos φ＋tan cos ωxsin φ的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1) 求ω和φ的值；
(2) 若f＝，求cos的值．
解：(1) 由已知得f(x)＝sin (ωx＋φ)，
因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2＋φ＝kπ＋，k∈Z.
由－≤φ<得k＝0，
所以φ＝－＝－.
(2) 由(1)得f(x)＝sin ，
所以f＝sin ＝，
即sin ＝.
由<α<得0<α－<，
所以cos ＝＝
＝.
因此cos ＝sin α＝sin
＝sin cos ＋cos sin
＝＋＝.
第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、 填空题
1. －sin2的值为________．
答案：
解析：－sin2＝＝cos＝＝.
2. 函数y＝(sin x－cos x)2的最小正周期为__________．
答案：π
解析：y＝(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝1－sin 2x，最小正周期T＝π.
3. 若＝－，则sin α＋cos α＝__________．
答案：
解析：由已知得＝－，整理得sin α＋cos α＝.
4. 已知sin(α－45)＝－，且0＜α＜90，则cos 2α的值为________．
答案：
解析：由sin (α－45)＝－，展开得sin α－cos α＝－.又sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝，cos α＝，则cos 2α＝cos2α－sin2α＝.
5. 若函数f(x)＝sin2＋cos2－1，则函数f(x)的单调增区间是____________．
答案：(k∈Z)
解析：f(x)＝sin2(＋x)＋sin2(＋x)－1＝2sin2(＋x)－1＝－cos＝sin 2x.易得函数f(x)的单调增区间是(k∈Z)．
6. (2017苏州调研)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝________．
答案：－
解析：因为α是第二象限角，且tan α＝－，所以sin α＝，cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2(－)＝－.
7. 已知sin 2α＝，则cos2＝___________．
答案：
解析：cos2＝＝＝＝.
8. 若＝2 017，则tan 2α＋＝________．
答案：2 017
解析：tan 2α＋＝＋＝＝＝2 017.
9. 设f(x)＝＋sin x＋a2sin的最大值为＋3，则常数a＝____________．
答案：
解析：f(x)＝＋sin x＋a2sin＝cos x＋sin x＋a2sin＝sin＋a2sin＝(＋a2)sin(x＋)．依题意有＋a2＝＋3，
∴ a＝.
10. 已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________．
答案：－
解析：由sin＝，得sin θ－cos θ＝①， θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，可求得sin θ＋cos θ＝，∴ sin θ＝，cos θ＝，∴ tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
11. 已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(0<φ<π)，将函数f(x)的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象，且g＝，则φ＝________．
答案：
解析：∵ f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin
＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ
＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ
＝cos(2x－φ)，
∴ g(x)＝cos＝cos.
∵ g＝，
∴ 2＋－φ＝2kπ(k∈Z)，即φ＝－2kπ(k∈Z)．
∵ 0<φ<π，∴ φ＝.
二、 解答题
12. (2017江阴期初)已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.
(1) 求函数f(x)的最小正周期；
(2) 求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1) ∵ f(x)＝sin2xcos＋cos2xsin＋sin2xcos－cos2xsin＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，
∴ 函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2) ∵ 函数f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，
又f＝－1，f＝，f＝1，
∴ 函数f(x)在上的最大值为，最小值为－1.
13. 已知函数f(x)＝(2cos 2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1) 求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2) 若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值．
解：(1) f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，
∴ f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
∴ f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2) ∵ f＝，即sin＝1，
又α∈(0，π)，－<α－<，
∴α－＝，故α＝.
因此tan＝＝＝2－.
第6课时 简单的三角恒等变换
一、 填空题
1. 已知cos4α－sin4α＝，则cos 4α＝________．
答案：－
解析：∵ cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝，∴ cos 4α＝2cos22α－1＝2－1＝－.
2. 若sin＝，则cos 2α＝________．
答案：－
解析：cosα＝1－2sin2＝1－2＝，cos2α＝2cos2α－1＝2－1＝－.
3. 在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是__________．
答案：等腰三角形
解析：在△ABC中，C＝π－(A＋B)，
∴ 2cos Bsin A＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝
sin A cos B＋cos Asin B．∴ －sin Acos B＋cos Asin B＝0，即sin(B－A)＝0.∴ A＝B，故△ABC的形状一定是等腰三角形．
4. 在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则C＝__________．
答案：
解析：由已知可得tan A＋tan B＝(tan Atan B－1)，
∴ tan(A＋B)＝＝－.又0＜A＋B＜π，
∴ A＋B＝，∴ C＝.
5. 若2cos 2α＝sin，且α∈，则sin 2α＝___________．
答案：－
解析：由2cos 2α＝sin，得2(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，所以cos α＋sin α＝.又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－.
6. 若α∈[0，2π)，则满足＝sin α＋cos α的α的取值范围是__________．
答案：∪
解析：由＝sin α＋cos α，得sin α＋cos α＝sin≥0.因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为∪.
7. ＝___________．
答案：
解析：原式＝
＝
＝＝.
8. 已知sin 2α＝－，且α∈，则sin α＝________．
答案：
解析：∵ α∈，∴ cos α＜0，sin α＞0，且|cos α|＞|sin α|.又(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－＝，
∴ sin α＋cos α＝－，同理可得sin α－cos α＝，
∴ sin α＝.
9. sin 18cos 36＝________．
答案：
解析：原式＝
＝＝＝.
10. 已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．
答案：－
解析：由sin α＝＋cos α，得sin α－cos α＝，
∴ (sin α－cos α)2＝，∴ 2sin αcos α＝，
∴ (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝.
又α∈，∴ sin α＋cos α＝，
∴ ＝＝－(sin α＋cos α)
＝－.
二、 解答题
11. 已知△ABC是锐角三角形，且sincos＝.
(1) 求角B的值；
(2) 若tan Atan C＝3，求角A，C的值．
解：(1) sincos
＝
＝sin2B－cos2B＝sin2B－＝，
所以sin2B＝.
因为B为锐角三角形的内角，所以sin B＝，即B＝.
(2) 因为B＝，所以A＋C＝.
又△ABC是锐角三角形，所以tan A＞0，tan C＞0.
而tan(A＋C)＝＝－，
所以tan A＋tan C＝tan Atan C－＝2 ①.
又tan Atan C＝3 ②，
由①②解得tan A＝tan C＝，所以A＝C＝.
12. (2017南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知sin＝，α∈.
(1) 求cos α的值；
(2) 求sin的值．
解：(1) (解法1)因为α∈，所以α＋∈.
又sin＝，所以cos＝－＝－＝－.
所以cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－＋＝－.
(解法2)由sin＝得，sin αcos ＋cos αsin ＝，
即sin α＋cos α＝ ①.
又sin2α＋cos2α＝1 ②.
由①②解得cos α＝－或cos α＝.
因为α∈，所以cos α＝－.
(2) 因为α∈，cos α＝－，
所以sin α＝＝＝.
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2－1＝－.
所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－＝－.
13. (2017泰州模拟)如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.
(1) 求S关于θ的函数关系式；
(2) 求S的最大值及相应的θ值．
解：(1) 分别过P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．
由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.
在Rt△OEQ中，OE＝QE＝PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－sin θ，所以S＝MNPD＝sin θ＝sin θcos θ－sin2θ，θ∈.
(2) 由(1)得S＝sin 2θ－(1－cos 2θ)
＝sin 2θ＋cos 2θ－
＝sin－，
因为θ∈，所以2θ＋∈，
所以sin∈.
当θ＝时，Smax＝(m2)．
第7课时 正弦定理和余弦定理
一、 填空题
1. (2017江阴期初)在△ABC中，若A＝60，B＝45，BC＝3，则AC＝________．
答案：2
解析：由已知及正弦定理得＝，即AC＝＝＝2.
2. 在△ABC中，AC＝，A＝45，C＝75，则BC＝______．
答案：
解析：由题意得B＝180－A－C＝60.由正弦定理得＝，则BC＝，所以BC＝＝.
3. 在△ABC中，A＝60，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为____________．
答案：
解析：S＝ABACsin 60＝2AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 60＝3，所以BC＝.
4. 已知在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为________．
答案：
解析：∵ a2＝b2＋c2－bc，∴ cos A＝.
∴ A＝.又bc＝4，∴ △ABC的面积为bcsin A＝.
5. (2017苏锡常镇调研(二))在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若满足2bcos A＝2c－a，则角B的大小为________．
答案：
解析：由正弦定理得2sin Bcos A＝2sin C－sin A⇒2sin Bcos A＝2sin(A＋B)－sin A⇒2sin Acos B＝sin A．∵ A∈(0，π)，∴ cos B＝.∵ B∈(0，π)，∴ B＝.
6. 在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝________．
答案：
解析：由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，
因为b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，
所以b2＋b2－2b2cos A＝2b2(1－sin A)，
所以cos A＝sin A，即tan A＝1.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
7. (2017盐城诊断)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C所对边的长)，则△ABC的形状为________．
答案：直角三角形
解析：因为cos2＝，所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝，所以＝，所以c2＝a2＋b2.
所以△ABC为直角三角形．
8. 在△ABC中，三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c＝________．
答案：2
解析：∵ ＝2cos C，
由正弦定理，得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C，
∴ sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C.
由于0＜C＜π，sin C≠0，∴ cos C＝，∴ C＝.
∵ S△ABC＝2＝absin C＝ab，∴ ab＝8.
又a＋b＝6，∴或
∴ c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋16－8＝12，∴ c＝2.
9. 在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C，则sin A＋sin B的最大值是______．
答案：
解析：由csin A＝acos C，得sin Csin A＝sin Acos C，即sin C＝cos C，∴ tan C＝，∴ C＝，A＝－B，
∴ sin A＋sin B＝sin＋sin B＝sin.
∵ 0＜B＜，∴ ＜B＋＜，
∴ 当B＋＝，即B＝时，sin A＋sin B的最大值为.
10. 在锐角三角形ABC中，若A＝2B，则的取值范围是________．
答案：(，)
解析：因为△ABC为锐角三角形，且A＝2B，
所以所以
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2019版高考数学一轮复习
第三章
三角函数、三角恒等变换及解三角形课时训练
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