《（浙江专版）2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示学案 新人教A版必修1.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专版）2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示学案 新人教A版必修1.doc（31页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1.2
1．2.1 函数的概念
预习课本P15～18，思考并完成以下问题
(1)在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？
(2)如何用区间表示数集？
(3)相等函数是指什么样的函数？
1．函数的概念
(1)函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域与值域：
函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
[点睛] 对函数概念的3点说明
(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．
(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
3．其它区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
[点睛] 关于无穷大的2点说明
(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．
(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( )
(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )
(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )
(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( )
(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )
答案：(1) (2) (3)√ (4) (5)
2．函数y＝的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
答案：C
3．已知f(x)＝x2＋1，则f ( f (－1))＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：D
4．用区间表示下列集合：
(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________．
(2){x|x>1}用区间表示为________．
答案：(1)[10,100] (2)(1，＋∞)
函数的判断
[例1] (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？
① f：把x对应到3x＋1； ② g：把x对应到|x|＋1；
③ h：把x对应到； ④ r：把x对应到.
(1)[解析] ①中，因为在集合M中当1
－1，且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}.
求函数值和值域
[例4] (1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________.
(2)求下列函数的值域：
①y＝x＋1；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
③y＝；
④y＝2x－.
(1)[解析] ∵f (x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g (x)＝x2＋2，
∴g (2)＝22＋2＝6，
∴f ( g(2))＝f (6)＝＝.
[答案]
(2)[解] ①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
③(分离常数法)y＝＝＝3－.
∵≠0，∴y≠3，
∴y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
④(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2 2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域常用的4种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
[活学活用]
4．求下列函数的值域：
(1)y＝＋1；(2)y＝.
解：(1)因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)因为y＝＝－1＋，又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，
所以0<≤2，则y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1].
层级一 学业水平达标
1．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析：选D 由题意可知解得0≤x≤1.
2．若函数y＝f (x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f (x)的图象可能是( )
解析：选B A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f (x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2
D．f (x)＝和g(x)＝
解析：选D A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
4．设f(x)＝，则＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选B ＝＝＝＝－1.
5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
解析：选B y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析：由题意知3a－1>a，则a>.
答案：
7．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
解析：∵x＝1,2,3,4,5，
∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.
∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
答案：{－1,1,3,5,7}
8．设f (x)＝，则f ( f ( x ))＝________.
解析：f ( f (x))＝＝＝.
答案：(x≠0，且x≠1)
9．已知f(x)＝x2－4x＋5.
(1)求f (2)的值．
(2)若f (a)＝10，求a的值．
解：(1)由f (x)＝x2－4x＋5，
所以f (2)＝22－42＋5＝1.
(2)由f (a)＝10，得a2－4a＋5＝10，
即a2－4a－5＝0，解得a＝5或a＝－1.
10．求函数y＝的定义域，并用区间表示．
解：要使函数解析式有意义，需满足：
即
所以－2≤x≤3且x≠.
所以函数的定义域是.
用区间表示为∪.
层级二 应试能力达标
1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )
A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6 D．x＝
解析：选A 对于A，由x＝y2＋1得y2＝x－1.当x＝5时，y＝2，故y不是x的函数；对于B，y＝2x2＋1是二次函数；对于C，x－2y＝6⇒y＝x－3是一次函数；对于D，由x＝得y＝x2(x≥0)是二次函数．故选A.
2．若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B＝( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选C 集合A表示函数y＝的定义域，则A＝{x|x≥1}，集合B表示函数y＝x2＋2的值域，则B＝{y|y≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}．
3．若函数f (x)＝ax2－1，a为一个正数，且f ( f (－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
解析：选A ∵f (x)＝ax2－1，∴f (－1)＝a－1，
f (f(－1))＝f (a－1)＝a(a－1)2－1＝－1.
∴a(a－1)2＝0.
又∵a为正数，∴a＝1.
4．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是相等的函数，则函数y＝f(x)的定义域是( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，1]
解析：选A 由于y＝f(x)与y＝＋是相等函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．故写成区间形式为[－3,1]．
5．函数y＝的定义域是A，函数y＝ 的值域是B，则A∩B＝________(用区间表示)．
解析：要使函数式y＝有意义，只需x≠2，即A＝{x|x≠2}；函数y＝ ≥0，即B＝{y|y≥0}，则A∩B＝{x|0≤x<2，或x>2}．
答案：[0,2)∪(2，＋∞)
6．函数y＝的定义域用区间表示为________．
解析：要使函数有意义，需满足即
∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．
答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]
7．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f (x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f (x)＝(x－1)2＋1；
(3)f (x)＝；
(4)f (x)＝x－.
解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．
(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝2－.又t≥0，故f (t)≥－.所以函数的值域是.
8．已知函数f (x)＝.
(1)求f(2)＋f ，f(3)＋f 的值；
(2)求证：f (x)＋f 是定值；
(3)求f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 016)＋f 的值．
解：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1，
f (3)＋f＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，…，f(2 016)＋f＝1.
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 016)＋f＝2 015.
1．2.2 函数的表示法
第一课时 函数的表示法
预习课本P19～21，思考并完成以下问题
(1)表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？
(2)函数的各种表示法各有什么特点？
[点睛] 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示．( )
(2)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．( )
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )
答案：(1) (2)√ (3)
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x
1≤x<2
2
20}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )
答案：(1)√ (2) (3)√ (4)
2．已知f(x)＝则f(－2)＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．2或4
答案：A
3．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应不是A到B的映射的是( )
答案：C
4．函数f(x)＝的定义域为________．
答案：[1，＋∞)
映射的概念
[例1] 下列对应是不是从A到B的映射？
(1)A＝B＝N*，f：x→|x－3|；
(2)A＝N，B＝Q，f：x→；
(3)A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|2≤y≤5}，f：x→y＝2x.
[解] (1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3在B中没有元素与之对应，所以(1)不是映射．
(2)当x＝0∈A时，无意义，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以(2)不是映射．
(3)当1≤x≤2时，2≤2x≤4，而且对于A中每一个x值，按照对应关系y＝2x，在B中都有唯一的元素与之对应，所以(3)是映射．
判断一个对应是不是映射的2个关键
(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应．
(2)B中的对应元素是不是唯一的．
[点睛] “一对一”或“多对一”的对应才可能是映射．
[活学活用]
1．已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→.
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？
(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？
解：(1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得＝＝，即与A中元素1相对应的B中的元素是.
(2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.
分段函数求值
[例2] 已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(x)＝，求x的值．
[解] (1)因为f＝－2＝－，
所以f＝f＝＝.
(2)f(x)＝，若|x|≤1，则|x－1|－2＝，
得x＝或x＝－.
因为|x|≤1，所以x的值不存在；
若|x|>1，则＝，得x＝，符合|x|>1.
所以若f(x)＝，x的值为.
1．求分段函数的函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．求某条件下自变量的值的方法
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
[活学活用]
2．已知f(x)＝则f(－5)的值等于________．
解析：f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝21＝2.
答案：2
3．函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.
解析：当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，
∴x0＝－或x0＝(舍去)；
当x0>2时，f(x0)＝x0，∴x0＝10.
综上可知，x0＝－或x0＝10.
答案：－或10
分段函数的图象及应用
题点一：分段函数的图象的判定
1．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
解析：选B 法一：函数的解析式可化为y＝画出此分段函数的图象，故选B.
法二：由f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A、C、D，故选B.
题点二：分段函数图象的作法
2．已知f(x)＝画出f(x)的图象．
解：利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
题点三：由函数的图象确定其解析式
3．已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)的解析式是________．
解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则∴
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1.
答案：f(x)＝
题点四：分段函数的图象及应用
4．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
解析：由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
层级一 学业水平达标
1．下列对应关系f中，能构成从集合A到集合B的映射的是( )
A．A＝{x|x>0}，B＝R，f：x→|y|＝x2
B．A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→y＝x2
C．A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝
D．A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：x→y＝
解析：选D 对于A，集合A中元素1在集合B中有两个元素与之对应；对于B，集合A中元素0在集合B中无元素与之对应；对于C，集合A中元素0在集合B中无元素与之对应．故A、B、C均不能构成映射．
2．已知f(x)＝则f(f(－7))的值为( )
A．100 B．10
C．－10 D．－100
解析：选A ∵f(x)＝∴f(－7)＝10.
f(f(－7))＝f(10)＝1010＝100.
3．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( )
解析：选D 函数y＝x|x|＝故选D.
4．已知集合M＝{x|0≤x≤4}，N＝{0|0≤y≤2}，按对应关系f不能构成从M到N的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
解析：选C 因为当x＝4时，y＝4＝∉N，所以C中的对应关系f不能构成从M到N的映射．
5．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0,2]∪{3}
C．[0，＋∞) D．[0,3]
解析：选B 先求各段上的图象，再求各段值域的并集，即为该函数的值域．
6．已知f(x)＝则f＝________.
解析：依题意，得f＝＝3，则f＝f(3)＝32－1＝8.
答案：8
7．函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是________．
解析：当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1舍去，
当－12时，由2x0＝8，得x0＝4.
∴x0＝4.
10．已知函数f(x)＝1＋(－20时，令－2x＝5，得x＝－，不合题意，舍去．
3．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素在A中都能找到元素与之对应，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选A 注意到对应法则是f：a→|a|，因此3和－3对应集合B中的元素3；2和－2对应集合B中的元素2；1和－1对应集合B中的元素1；4对应集合B中的元素4.所以B＝{1,2,3,4}，有4个元素．
4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
解析：选A 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为
y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
5．函数f(x)＝的值域是________．
解析：当x≥0时，f(x)≥1，
当－2≤x<0时，21，则实数a的取值范围是________．
解析：当a≥0时，f(a)＝a－1>1，
解得a>4，符合a≥0；
当a<0时，f(a)＝>1，无解．
答案：(4，＋∞)
7.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．
(1)求f(f(0))的值；
(2)求函数f(x)的解析式．
解：(1)直接由图中观察，可得
f(f(0))＝f(4)＝2.
(2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b，
将与代入，
解得得
∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．
同理，线段BC所对应的函数解析式为
y＝x－2(2
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浙江专版2017-2018学年高中数学
第一章
集合与函数概念
1.2
函数及其表示学案
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函数
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（浙江专版）2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示学案 新人教A版必修1.doc
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