2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题45 直线与方程.doc

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专题45 直线与方程 【热点聚焦与扩展】 高考对直线与方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识，熟练掌握两条直线的位置关系、点到直线的距离、平行直线间的距离等.其中两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用，是高考的热点，另外，两直线的位置关系与向量的结合，也应予以足够的重视．本专题通过例题说明关于直线问题的解法与技巧. （一）直线与方程： 1、倾斜角：若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、斜率：设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）斜率的求法：已知直线上任意两点，则，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关. 3、截距：若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关 （1）一点一方向： ① 点斜式：已知直线的斜率，直线上一点，则直线的方程为： 证明：设直线上任意一点，根据斜率计算公式可得：，所以直线上的每一点都应满足：，即为直线方程 ② 斜截式：已知直线的斜率，纵截距，则直线的方程为： 证明：由纵截距为可得直线与轴交点为，从而利用点斜式得： 化简可得： （2）两点确定一条直线： ③ 两点式：已知直线上的两点，则直线的方程为： ④ 截距式：若直线的横纵截距分别为，则直线的方程为： 证明：从已知截距可得：直线上两点，所以 ⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：（不同时为0），此形式称为直线的一般式 一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系 点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线： （1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线） （2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线 ② 截距为0的直线：过原点的直线 6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） （二）直线位置关系： 1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合 如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是，则要考虑重合的情况. 2、直线平行的条件 （1）斜截式方程：设直线 ① ② 若直线的斜率存在，则 （2）一般式方程：设，则 ① 当时，∥ ② ，且和中至少一个成立，则∥（此条件适用于所有直线） 3、直线垂直的条件： （1）斜截式方程：设直线，则 （2）一般式方程：设，则： 4、一般式方程平行与垂直判定的规律： 可选择与一般式方程对应的向量：，即有： ，从而的关系即可代表的关系，例如： （注意验证是否会出现重合的情况） （三）距离问题： 1、两点间距离公式：设，则 2、点到直线距离公式：设 则点到直线的距离 3、平行线间的距离： 则的距离为 （四）对称问题 1、中心对称： （1）几何特点：若关于点中心对称，则为线段的中点 （2）解析特征：设，，则与点关于点中心对称的点满足： 2、轴对称 （1）几何特点：若若关于直线轴对称，则为线段的中垂线，即，且的中点在上 （2）解析特征：设，，则与点关于轴对称的点满足： ，解出即可 （3）求轴对称的直线：设对称轴为直线，直线关于的对称直线为 ① 若∥，则∥，且到对称轴的距离与到对称轴的距离相等 ② 若与相交于 ，则取上一点，求出关于的对称点，则即为对称直线 （五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线） 1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值 （1）与直线平行的直线系方程为：（为参数，且） （2）与直线垂直的直线系方程为：（为参数） 2、过定点的直线： （1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为0即可 （2）已知（与不重合），则过交点的直线系方程为：（该直线无法表示） 3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程 【经典例题】 例1.过点和 的直线的斜率为1，则实数的值为（ ） A．1 B．2 C．1或4 D．1或2 【答案】A 【解析】依题意有． 例2.已知直线方程为则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由直线方程为 所以直线的斜率为 因为直线倾斜角的范围 所以倾斜角为 故答案为. 例3. 坐标平面内有相异两点，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】，且.设直线的倾斜角为，当时，则，所以倾斜角的范围为.当时，则，所以倾斜角的范围为. 例4. 直线过点，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】或. 例5. 已知直线，其中，则“”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】直线的充要条件是 或 .故选A. 例6.【2018届四川省南充高级中学高三9月检测】已知直线.若，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】，则 即 经检验都符合题意 故选A. 例7．已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 例8. 设直线l的方程为． (1)若在两坐标轴上截距相等，求的方程； (2)若不经过第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1).(2)． 【解析】 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴，方程即为. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴＝，即方程即为.综上，的方程为. (2)将的方程化为 ∴或, 综上可知的取值范围是． 点睛：涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意. 例9.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线与直线，为它们的交点，点为平面内一点.求 （1）过点且与平行的直线方程； （2）过点的直线，且到它的距离为2的直线方程. 【答案】（1）（2）或 【解析】试题分析：(1)先求，写出直线点斜式方程，整理得解(2)先求两条直线的交点，设出直线方 ∴ （2） ∴， 当斜率不存在，则方程为，不合题意 当斜率存在，设方程, 而, ∴, ∴, ， ∴或， ∴方程为或. 例10. 已知直线，直线，若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． 【答案】. 【解析】 直线关于直线对称， 所以与与间的距离相等． 由两平行直线间的距离公式得， 解得或（舍去）， 所以直线的方程为. 法二：由题意知，设直线， 在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 于是有，解得，即． 把点代入的方程，得， 所以直线的方程为． 【精选精练】 1.【2018届云南省师范大学附属中学高三月考卷（二）】已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 2.已知直线与直线平行，则实数的值为 ( ) A. B． C. D. 【答案】A 【解析】由题意，，即,选A. 3.平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ） A．或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】． 4.已知直线在两坐标轴上的截距之和为4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】直线在两坐标轴上的截距之和为4，所以，即 ，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 . 5．若直线与以，为端点的线段没有公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C. D． 【答案】D 【解析】直线过定点,所以，选D. 6.直线经过点，则倾斜角与直线的倾斜角互为补角的一条直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将点代入得，直线方程为，斜率为，倾斜角为.故和其垂直的直线斜率为，故选C. 7.点，，，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 8. 如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　) A．2 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【解析】由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2．故选A． 9.若直线： 经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最 小值是 ． 【答案】． 【解析】由题意得，∴截距之和为 ，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为． 10.已知两直线和．试确定的值，使 （1）与相交于点； （2）∥； （3），且在轴上的截距为－1． 【答案】（1），；（2），或，；（3），. 【解析】 试题分析：（1）将点代入两直线方程，解出和的值；（2）由∥得斜率相等，求出值，再把直线可能重合的情况排除；（3）先检验斜率不存在的情况，当斜率存在时，看斜率之积是否等于， ∴或 即，时或，时，． （3）当且仅当，即时，．又，∴． 即，时，，且在轴上的截距为． 11.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线的方程为，求的方程，使得： （1）与平行，且过点； （2）与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（1）由与平行可设，再代点得.（2）由与垂直可设，再得与坐标轴的交点，根据面积公式得，最后解方程得 试题解析：解：（1）设， ∵过点， ∴. ∴方程为. ∴. ∴方程为或. 12．已知，直线， 相交于点P，交y轴于点A，交x轴于点B （1）证明：； （2）用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值； （3）设S= f (m), 求的单调区间. 【答案】（1）见解析；（2）1；（3）在（－1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数. 【解析】（1）证明：可把两条直线化为 （3）, 又是单调递减的函数, 而在（－1，0）上递增，在（0，1）上递减， 在（－1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数