浙江专版2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案新人教A版选修2 .doc

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2.1　 2．1．1&2．1．2　曲线与方程　求曲线的方程 预习课本P34～36，思考并完成以下问题 1．曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么？ 　 　 　 　 　 　 　 2．求曲线方程的一般步骤是什么？ 　 　 　 　 　 　 　 　　　　 1．曲线的方程、方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： ①曲线上点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．求曲线的方程的步骤 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“”) (1)过点P(x0，y0)斜率为k的直线的方程是＝k(　　) (2)若点P(x0，y0)在曲线C上，则有f(x0，y0)＝0(　　) (3)以A(0,1)，B(1,0)，C(－1,0)为顶点的△ABC的BC边上中线的方程是x＝0(　　) 答案：(1)　(2)√　(3) 2．下列各组方程中表示相同曲线的是(　　) A．x2＋y＝0与xy＝0　　　B．＝0与x2－y2＝0 C．y＝x与y＝ D．x－y＝0与y＝lg 10x 答案：D 3．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3 答案：B 4．若点P(2，－3)在曲线x2－ky2＝1上，则实数k＝________． 答案： 曲线的方程与方程的曲线的概念 　　[典例]　分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系． [解]　(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程． (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5．因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5． (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0． 这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．　　　　 　　[活学活用] 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是(　　) A．方程f(x，y)＝0的曲线是C B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C C．f(x，y)＝0是曲线C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 解析：选B　“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确． 曲线与方程的判定问题 [典例]　下列方程分别表示什么曲线： (1)(x＋y－1)＝0； (2)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0． [解]　(1)由方程(x＋y－1)＝0可得 或 即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1． 故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线x＝1． (2)对方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0． ∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0， ∴解得 从而方程表示的图形是一个点(1，－1)． 判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断．特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．　　 　　[活学活用] 已知方程x2＋(y－1)2＝10． (1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值． 解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上， 点Q不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上． (2)因为x＝，y＝－m适合方程x2＋(y－1)2＝10， 即2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－．所以m的值为2或－． 求曲线的方程 [典例]　已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程． [解]　[法一　直接法] 如图所示，连接QC，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90． 设Q(x，y)，由题意，得 |OQ|2＋|QC|2＝|OC|2， 即x2＋y2＋x2＋(y－3)2＝9， 所以OP的中点Q的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)． [法二　定义法] 如图所示，因为Q是OP的中点， 所以∠OQC＝90，则Q在以OC为直径的圆上． 故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)． [法三　代入法] 设P(x1，y1)，Q(x，y)， 由题意得即 又因为x＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋42＝9， 即x2＋2＝(去掉原点)． 直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围，一定要慎重分析和高度重视． 　　　　　　 [活学活用] 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程． 解：法一：设点M的坐标为(x，y)． ∵M为线段AB的中点． ∴A点坐标是(2x,0)，B点坐标是(0,2y)． ∵l1，l2均过点P(2,4)，且l1⊥l2， ∴PA⊥PB，当x≠1时，kPAkPB＝－1． 而kPA＝＝，kPB＝＝， ∴＝－1， 整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)． 当x＝1时，A，B点的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0， 综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0． 法二：设M的坐标为(x，y)，则A，B两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM． ∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|． 而|PM|＝，|AB|＝， ∴2 ＝ ． 化简，得x＋2y－5＝0，即为所求轨迹方程． 层级一　学业水平达标 1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)(　　) A．在直线l上，但不在曲线C上 B．在直线l上，也在曲线C上 C．不在直线l上，也不在曲线C上 D．不在直线l上，但在曲线C上 解析：选B　将点M(2,1)的坐标代入方程知M∈l，M∈C． 2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线(　　) A．关于x轴对称 　B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于x－y＝0对称 解析：选C　同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称． 3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是(　　) 解析：选B　方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B． 4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||＋＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：选B　设点P的坐标为(x，y)，则＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)， ∴||＝4，||＝，＝4(x－2)． 根据已知条件得4 ＝4(2－x)． 整理得y2＝－8x．∴点P的轨迹方程为y2＝－8x． 5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是(　　) A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0 B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0 C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0 D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0 解析：选B　由两点式，得直线AB的方程是 ＝，即4x－3y＋4＝0， 线段AB的长度|AB|＝＝5． 设C的坐标为(x，y)， 则5＝10， 即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0． 6．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的图形为________． 解析：对方程左边配方得(x－2)2＋2(y＋2)2＝0． ∵(x－2)2≥0,2(y＋2)2≥0， ∴解得 从而方程表示的图形是一个点(2，－2)． 答案：一个点(2，－2) 7．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足＝12，则点P的轨迹方程为________________． 解析：设P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)． 于是＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12， 化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程． 答案：x2＋y2＝16 8．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________________． 解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y0＝2x＋1． 又M为AB的中点，所以即 将其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2． 答案：y＝4x2 9．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且＝4，求动点P的轨迹方程． 解：由已知得M(0，y)，N(x，－y)，则＝(x，－2y)， 故＝(x，y)(x，－2y)＝x2－2y2， 依题意知，x2－2y2＝4， 因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4． 10．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹． 解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)． 因为＝＋， 即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)， 则x0＝x，y0＝． 又点M在圆C上，所以x＋y＝4， 即x2＋＝4(y≠0)． 所以动点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0)． 层级二　应试能力达标 1．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是(　　) A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0 B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0 C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0 D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0 解析：选A　设动点P(x，y)， 则由|PA|＝3|PO|，得 ＝3． 化简，得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0．故选A． 2．下列四组方程表示同一条曲线的是(　　) A．y2＝x与y＝ B．y＝lg x2与y＝2lg x C．＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2) D．x2＋y2＝1与|y|＝ 解析：选D　根据每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A、B、C中各组曲线对应的x或y的取值范围不一致；而D中两曲线的x与y的取值范围都是[－1,1]，且化简后的解析式相同，所以D正确．故选D． 3．方程y＝－对应的曲线是(　　) 解析：选A　将y＝－平方得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A． 4．已知0≤α≤2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为(　　) A．　　　B．　　　C．或　　　D．或 解析：选C　将点P的坐标代入曲线(x－2)2＋y2＝3中，得(cos α－2)2＋sin2α＝3，解得cos α＝．又0≤α<2π，所以α＝或．故选C． 5．方程|x－1|＋|y－1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________． 解析：方程|x－1|＋|y－1|＝1可写成或或或其图形如图所示，它是边长为的正方形，其面积为2． 答案：2 6．给出下列结论： ①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线； ②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2； ③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点． 其中正确结论的序号是________． 解析：对于①，方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且除掉点(2,0)，所以①错误；对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误；对于③，方程(x2－4)2＋(y－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．故填③． 答案：③ 7．已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC|＝4，点A到直线l的距离为3，求△ABC外心的轨迹方程． 解：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0,3)． 设△ABC的外心为P(x，y)， 因为点P在线段BC的垂直平分线上， 所以不妨令B(x＋2,0)，C(x－2,0)．又点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|＝|PB|， 即＝，化简得x2－6y＋5＝0． 于是△ABC外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0． 8．已知两点P(－2,2)，Q(0,2)以及一条直线l：y＝x，设长为的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程． 解：设A(m，m)，B(m＋1，m＋1)， 当m≠－2且m≠－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝(x＋2)＋2和y＝x＋2． 由消去m，得x2－y2＋2x－2y＋8＝0． 当m＝－2时，直线PA和QB的方程分别为x＝－2和y＝3x＋2，其交点为(－2，－4)，满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0． 当m＝－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝－3x－4和x＝0，其交点为(0，－4)，满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0． 综上，可知所求交点M的轨迹方程为x2－y2＋2x－2y＋8＝0．