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19 直线与椭圆的综合
1.直线x+4y+m=0交椭圆x216+y2=1于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为1,则m=( ).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析▶ 因为x+4y+m=0,所以y=-14x-m4.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1216+y12=1,x2216+y22=1,两式相减,
得y1-y2x1-x2=-x1+x216(y1+y2)=-14.
因为AB中点的横坐标为1,所以纵坐标为14,将1,14代入直线y=-14x-m4,解得m=-2,故选A.
答案▶ A
2.已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120,则椭圆的离心率为( ).
A.13 B.12 C.33 D.22
解析▶ 在△PQF中,设|PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦点为E,由椭圆的对称性,知四边形PFQE是平行四边形,所以在△PEF中,由余弦定理得EF2=5t2-2t2=3t2=4c2.因为PF+QF=2a=3t,所以t=2a3,所以e=33,故选C.
答案▶ C
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90,则该椭圆的离心率是 .
解析▶ 将y=b2代入椭圆的标准方程,
得x2a2+b24b2=1,所以x=32a,
故B-32a,b2,C32a,b2.
又因为F(c,0),所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2.
因为∠BFC=90,所以BFCF=0,
所以c+32ac-32a+-b22=0,
即c2-34a2+b24=0.
将b2=a2-c2代入并化简,得a2=32c2,
所以e2=c2a2=23,
所以e=63(负值舍去).
答案▶ 63
4.直线x4+y3=1与椭圆x216+y29=1相交于A,B两点,该椭圆上有点P,使得△PAB的面积等于3,则这样的点P共有 个.
解析▶ 设P1(4cos α,3sin α)0<α<π2,即点P1在第一象限.设四边形P1AOB的面积为S,
则S=S△OAP1+S△OBP1=1243sin α+1234cos α=6(sin α+cos α)=62sinα+π4,
∴Smax=62.∵S△OAB=1243=6,
∴S△P1AB的最大值为62-6.
∵62-6<3,∴点P不可能在直线AB的右上方,
∴在AB的左下方有2个这样的点P.
答案▶ 2
能力1
▶ 会用点差法解直线与椭圆中的与弦中点有关的问题
【例1】 已知椭圆C:x24+y2b2=1(0
b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是( ).
A.12 B.22 C.32 D.55
解析▶ 设直线与椭圆的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,由点差法可知yM=-b2a2xM,代入点M(-4,1),解得b2a2=14,∴e=1-b2a2=32,故选C.
答案▶ C
能力2
▶ 会用“设而不解”的思想解直线与椭圆中的弦长、面积问题
【例2】 在平面直角坐标系xOy中,动点M(x,y)总满足关系式2(x-1)2+y2=|x-4|.
(1)点M的轨迹是什么曲线?并写出它的标准方程.
(2)坐标原点O到直线l:y=kx+m的距离为1,直线l与M的轨迹交于不同的两点A,B,若OAOB=-32,求△AOB的面积.
解析▶ (1)由2(x-1)2+y2=|x-4|,
得x24+y23=1,
所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆,
它的标准方程为x24+y23=1.
(2)由点O到直线l:y=kx+m的距离为1,得d=|m|1+k2=1,即1+k2=m2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立x24+y23=1,y=kx+m,消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)>0,得m2<4k2+3,
所以x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,
所以OAOB=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)4m2-123+4k2+km-8km3+4k2+m2
=7m2-12k2-123+4k2=-5k2-53+4k2.
因为OAOB=-32,所以-5k2-53+4k2=-32,
解得k2=12,m2=1+k2=32,
所以|AB|=1+k248(3k2+2)3+4k2=675,
所以S△AOB=121675=375.
求解弦长的四种方法
(1)当弦的两个端点坐标容易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解.
(3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x1-x2)2,(y1-y2)2,代入两点间的距离公式.
(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.
已知椭圆C的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点P(3,1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l,直线l与椭圆C相交于A,B两点,与圆O:x2+y2=6相交于D,E两点,当△OAB的面积最大时,求弦|DE|的长.
解析▶ (1)设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
由椭圆的定义可得2a=(3+2)2+1+(3-2)2+1
=8+43+8-43
=(6+2)2+(6-2)2
=26,
∴a=6.
∵c=2,∴b2=2.
∴椭圆C的标准方程为x26+y22=1.
(2)设直线l的方程为x=ky+2,
代入椭圆C的方程并化简得(k2+3)y2+4ky-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-4kk2+3,y1y2=-2k2+3.
∴△OAB的面积S=12|OF||y1-y2|=|y1-y2|
=16k2+8(k2+3)k2+3=26k2+1k2+3.
令t=k2+1(t≥1),则S=26tt2+2≤26t22t=3,当且仅当t=2,即k=1时取等号,
此时直线l的方程为x=y+2.
∴圆心O到直线l的距离d=2,又圆O的半径为6,故|DE|=26-2=4.
能力3
▶ 会用“设而不解”的思想求直线与椭圆中的有关几何量
【例3】 已知点M(-4,0),椭圆x24+y2b2=1(0b>0)的离心率为32,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Γ相交于A,B两点.若AF=3FB,则k=( ).
A.1 B.2 C.3 D.2
解析▶ 设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵AF=3FB,∴y1=-3y2.
∵e=32,设a=2t,c=3t,b=t,
∴x2+4y2-4t2=0. ①
设直线AB的方程为x=sy+3t,
代入①中消去x,可得(s2+4)y2+23sty-t2=0,
∴y1+y2=-23sts2+4,y1y2=-t2s2+4.
由y1=-3y2可得-2y2=-23sts2+4,-3y22=-t2s2+4,
解得s2=12,k=2.故选D.
答案▶ D
能力4
▶ 会用“设而不解”的思想求直线与椭圆中的最值
【例4】 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P-3,12,椭圆的一个焦点为(3,0).
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线l过点(0,2)且与椭圆E交于A,B两点,求|AB|的最大值.
解析▶ (1)设椭圆E的左、右焦点分别为F1(-3,0)、F2(3,0),则|PF1|=12,|PF2|=72.
∴|PF1|+|PF2|=4=2a,∴a=2.
又c=3,∴b2=1,
∴椭圆E的方程为x24+y2=1.
(2)当直线l的斜率存在时,设y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
由x24+y2=1,y=kx+2得(1+4k2)x2+82kx+4=0,
由Δ>0得4k2>1.
∴x1+x2=-82k1+4k2,x1x2=41+4k2,
∴|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2
=2-611+4k22+11+4k2+1.
设t=11+4k2,则00,得m2<4k2+3,
所以x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=-8k2m3+4k2+2m=6m3+4k2,
所以x1+x22=-4km3+4k2,y1+y22=3m3+4k2,
所以线段AB的中点坐标为-4km3+4k2,3m3+4k2.
当k=0时,x0=0,当k≠0时,
则线段AB的垂直平分线方程为y-3m3+4k2=-1kx+4km3+4k2.
把点P(x0,0)代入上面的方程得x0(3+4k2)=-km,
所以x0(3+4k2)-k=m,代入4k2-m2+3>0,
整理得x02<4k4+3k216k4+24k2+9,令k2=t(t>0),
x02<4t2+3t16t2+24t+9=116t2+24t+94t2+3t=14+3t<14,
所以-120,b>0)与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为32,则ba的值为( ).
A.32 B.233
C.932 D.2327
解析▶ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则ax12+by12=1,ax22+by22=1,
即ax12-ax22=-(by12-by22),
则by12-by22ax12-ax22=-1,
∴b(y1-y2)(y1+y2)a(x1-x2)(x1+x2)=-1,
∴ba(-1)32=-1,
∴ba=233,故选B.
答案▶ B
2.已知经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q,则k的取值范围是( ).
A.-22,22
B.-∞,-22∪22,+∞
C.(-2,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析▶ 由题意得,直线l的方程为y=kx+2,代入椭圆方程得x22+(kx+2)2=1,整理得12+k2x2+22kx+1=0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-412+k2=4k2-2>0,解得k<-22或k>22,即k的取值范围为-∞,-22∪22,+∞.故选B.
答案▶ B
3.经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OAOB等于( ).
A.-3 B.-13
C.-13或-3 D.13
解析▶ 由题意知,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan 45(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程x22+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=43,所以两个交点的坐标分别为(0,-1),43,13,所以OAOB=-13,同理,当直线l经过椭圆的左焦点时,也可得OAOB=-13,故选B.
答案▶ B
4.若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,过点1,12作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是( ).
A.x24+y23=1 B.x23+y22=1
C.x25+y24=1 D.x28+y25=1
解析▶ 可设斜率存在的切线的方程为y-12=k(x-1)(k为切线的斜率),即2kx-2y-2k+1=0,由|-2k+1|4k2+4=1,解得k=-34,所以圆x2+y2=1的一条切线的方程为3x+4y-5=0,可求得切点的坐标为35,45,易知另一切点的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=-2x+2.令y=0得右焦点为(1,0),令x=0得上顶点为(0,2),故a2=b2+c2=5,所以所求椭圆的方程为x25+y24=1,故选C.
答案▶ C
5.已知椭圆C的方程为x216+y2m2=1(m>0),若直线y=22x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为( ).
A.2 B.22 C.8 D.23
解析▶ 根据已知条件得c=16-m2,则点16-m2,2(16-m2)2在椭圆x216+y2m2=1(m>0)上,
∴16-m216+16-m22m2=1,可得m=22,故选B.
答案▶ B
6.已知直线l:y=kx+2过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若L≥455,则椭圆离心率e的取值范围是( ).
A.0,55 B.0,255
C.0,355 D.0,455
解析▶ 依题意,知b=2,|kc|=2.设圆心到直线l的距离为d,则L=24-d2≥455,解得d2≤165.
又因为d=21+k2,所以11+k2≤45,解得k2≥14.因为e2=c2a2=c2b2+c2=11+k2,所以00,b>0),若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A,B两点,且C1与C2的渐近线的两个交点将线段AB三等分,则C2的离心率为( ).
A.5 B.5
C.17 D.2147
解析▶ 设直线AB与椭圆在第一象限内的交点为P,A(11cos θ,11sin θ),其中θ∈0,π2,
则P113cosθ,113sinθ.
因为点P在椭圆上,
所以cos2θ9+119sin2θ=1,解得sin2θ=45,cos2θ=15,所以tan θ=2,即ba=2,所以e=1+ba2=5,故选A.
答案▶ A
8.已知椭圆x24+y2b2=1(03,但当直线AB的斜率不存在时,|AB|=3,故|AB|存在最小值3,故D选项不对.
答案▶ D
二、填空题
11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F(2,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为 .
解析▶ 由题意得c=2,2b2a=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=2,
∴椭圆C的方程为x24+y22=1.
答案▶ x24+y22=1
12.已知直线MN过椭圆x22+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点,直线PQ过原点O 与MN平行,且PQ与椭圆交于P,Q两点,则|PQ|2|MN|= .
解析▶ 由题意知F(-1,0),当直线MN斜率不存在时,|MN|=2b2a=2,|PQ|=2b=2,则|PQ|2|MN|=22.
当直线MN斜率存在时,设直线MN的斜率为k,则直线MN的方程为y=k(x+1),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立x22+y2=1,y=k(x+1),整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,由韦达定理得x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,
所以|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=22(k2+1)2k2+1.
易知直线PQ的方程为y=kx,设P(x3,y3),Q(x4,y4),联立x22+y2=1,y=kx,解得x2=22k2+1,y2=2k22k2+1,
则|OP|2=x2+y2=2(k2+1)2k2+1,所以|PQ|=2|OP|,则|PQ|2=4|OP|2=8(k2+1)2k2+1,|PQ|2|MN|=22.
答案▶ 22
三、解答题
13.点A为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过椭圆的左、右焦点F1、F2.当AC⊥x轴时,恰好|AF1|=2|AF2|.
(1)求该椭圆的离心率.
(2)设AF1=λ1F1B,AF2=λ2F2C,λ1+λ2是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
解析▶ (1)因为当AC⊥x轴时,恰好|AF1|=2|AF2|,
由椭圆的定义知,2a-|AF2|=2|AF2|,|AF2|=b2a,所以2a-b2a=2b2a,即b2a2=23,
故椭圆的离心率e=ca=33.
(2)设椭圆的半焦距为c,则F1(-c,0),F2(c,0),椭圆方程设为x23c2+y22c2=1,整理得2x2+3y2-6c2=0.
设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),
若直线AC的斜率存在,则直线AC的方程为y=y0x0-c(x-c),
联立y=y0x0-c(x-c),2x2+3y2-6c2=0,消去x,
得[2(x0-c)2+3y02]y2+4cy0(x0-c)y-4c2y02=0.
由韦达定理得y0y2=-4c2y022(x0-c)2+3y02,
y2=-4c2y02(x0-c)2+3y02,
同理y0y1=-4c2y022(x0+c)2+3y02,y1=-4c2y02(x0+c)2+3y02.
由AF1=λ1F1B得y0=-λ1y1,
则λ1=-y0y1=2(x0+c)2+3y024c2.
由AF2=λ2F2C得λ2=-y0y2=2(x0-c)2+3y024c2,
所以λ1+λ2=2(x0-c)2+3y02+2(x0+c)2+3y024c2=2(2x02+3y02)+4c24c2=26c2+4c24c2=4,
故λ1+λ2=4.
若直线AC⊥x轴,则λ2=1,λ1=3,所以λ1+λ2=4.
综上所述,λ1+λ2=4是定值.
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