（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 考点规范练18 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用.docx

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考点规范练18　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 基础巩固组 1.已知函数f(x)=2sin2x+π6,把函数f(x)的图象沿x轴向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象.关于函数g(x),下列说法正确的是(　　) A.在π4,π2上是增函数 B.其图象关于直线x=-π4对称 C.函数g(x)是奇函数 D.当x∈0,π3时,函数g(x)的值域是[-1,2] 答案D　 解析g(x)=2sin2x+π6+π6=2cos2x,所以可以判断A,B,C均不对,D正确. 2. 若函数y=sin(ωx-φ)ω>0,|φ|<π2在区间-π2,π上的图象如图所示,则ω,φ的值分别是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.ω=2,φ=π3 B.ω=2,φ=-2π3 C.ω=12,φ=π3 D.ω=12,φ=-2π3 答案A　 解析由图可知,T=2π6--π3=π,所以ω=2πT=2,又sin2π6-φ=0,所以π3-φ=kπ(k∈Z),即φ=π3-kπ(k∈Z),而|φ|<π2,所以φ=π3,故选A. 3.已知函数f(x)=sin(x-π),g(x)=cos(x+π),则下列结论中正确的是(　　) A.函数y=f(x)g(x)的最小正周期为2π B.函数y=f(x)g(x)的最大值为2 C.将函数y=f(x)的图象向左平移π2个单位后得y=g(x)的图象 D.将函数y=f(x)的图象向右平移π2个单位后得y=g(x)的图象 答案C　 解析∵f(x)=sin(x-π)=-sinx,g(x)=cos(x+π)=-cosx, ∴f(x)g(x)=-sinx(-cosx)=sin2x2. 最小正周期为π,最大值为12,故A,B错误; f(x)向左平移π2个单位后得到y=-sinx+π2=-cosx的函数图象,故C正确; f(x)向右平移π2个单位后得到y=-sinx-π2=cosx的函数图象,故D错误,故选C. 4.将函数y=sin2x-π3的图象向左平移π4个单位长度,所得函数图象的一条对称轴方程是(　　) A.x=23π B.x=-112π C.x=13π D.x=512π 答案A　 解析将函数y=sin2x-π3的图象向左平移π4个单位长度,可得y=sin2x+π2-π3=sin2x+π6的图象,令2x+π6=kπ+π2,求得x=kπ2+π6,k∈Z,可得所得函数图象的对称轴方程为x=kπ2+π6,k∈Z,令k=1,可得所得函数图象的一条对称轴方程为x=2π3,故选A. 5.为了得到函数y=cos2x+π3的图象,只需将函数y=sin 2x的图象(　　) A.向右平移5π6个单位 B.向右平移5π12个单位 C.向左平移5π6个单位 D.向左平移5π12个单位 答案D　 解析∵函数y=cos2x+π3=sin2x+5π6=sin2x+5π12,∴将函数y=sin2x的图象向左平移5π12个单位,即可得到函数y=cos2x+π3=sin2x+5π6的图象,故选D. 6.若函数g(x)的图象可由函数f(x)=sin 2x+3cos 2x的图象向右平移π6个单位长度变换得到,则g(x)的解析式是　　　　　. 答案g(x)=2sin 2x　 解析f(x)=sin2x+3cos2x=2sin2x+π3向右平移π6个单位长度变换得到g(x)=2sin2x-π6+π3=2sin2x. 7.函数y=sin x-3cos x的图象可由函数y=sin x+3cos x的图象至少向右平移　　　　　个单位长度得到. 答案2π3　 解析因为y=sinx+3cosx=2sinx+π3,y=sinx-3cosx=2sinx-π3=2sinx-2π3+π3,所以函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=sinx+3cosx的图象至少向右平移2π3个单位长度得到. 8.(2018浙江诸暨高三模拟)如图,函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,π2≤φ≤π的部分图象,其中A,B分别是图中的最高点和最低点,且AB=5,那么ω+φ的值为　　　　　. 答案7π6　 解析由题图可知函数的振幅为2,半周期为AB间的横向距离,即T2=52-42=3. ∴T=6,即2πω=6.∴ω=π3. 由图象可知函数过点(0,1),则1=2sinφ. ∴φ=2kπ+π6,k∈Z或φ=2kπ+5π6,k∈Z. ∵π2≤φ≤π,∴φ=5π6,∴ω+φ=7π6.故答案为7π6. 能力提升组 9.(2017湖南娄底二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1ω>0,|φ|<π2,f(α)=-1,f(β)=1,若|α-β|的最小值为3π4,且f(x)的图象关于点π4,1对称,则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A.-π2+2kπ,π+2kπ,k∈Z B.-π2+3kπ,π+3kπ,k∈Z C.π+2kπ,5π2+2kπ,k∈Z D.π+3kπ,5π2+3kπ,k∈Z 答案B　 解析由题设知f(x)的周期T=4|α-β|min=3π,所以ω=2πT=23,又f(x)的图象关于点π4,1对称,从而fπ4=1,即sin23π4+φ=0,因为|φ|<π2,所以φ=-π6.故f(x)=2sin23x-π6+1.再由-π2+2kπ≤23x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π2+3kπ≤x≤π+3kπ,k∈Z,故选B. 10.(2018浙江舟山中学模拟)定义在区间0,π2上的函数y=2cos x的图象与函数y=3tan x的图象的交点为M,则点M到x轴的距离为(　　) A.32 B.3 C.1 D.12 答案B　 解析由2cosx=3tanx,x∈0,π2,可得2cos2x=3sinx, 即2-2sin2x=3sinx,即2sin2x+3sinx-2=0, 解得sinx=12,则2cosx=3.故选B. 11.如图所示的是函数f(x)=sin 2x和函数g(x)的部分图象,则函数g(x)的解析式可以是(　　) A.g(x)=sin2x-π3 B.g(x)=sin2x+2π3 C.g(x)=cos2x+5π6 D.g(x)=cos2x-π6 答案C　 解析由题图可知函数y=g(x)的图象过点17π24,22,满足g(x)=cos2x+5π6,故选C. 12.已知f(x)=3sin xcos x-sin2x,把f(x)的图象向右平移π12个单位,再向上平移2个单位,得到y=g(x)的图象;若对任意实数x,都有g(a-x)=g(a+x)成立,则ga+π4+gπ4= (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案A　 解析因为f(x)=3sinxcosx-sin2x=32sin2x-1-cos2x2=sin2x+π6-12,把f(x)的图象向右平移π12个单位,再向上平移2个单位,得到g(x)=sin2x-π12+π6+32=sin2x+32,若对任意实数x,都有g(a-x)=g(a+x)成立,则y=g(x)的图象关于x=a对称,所以2a=π2+kπ,k∈Z,故可取a=π4,有ga+π4+gπ4=sin2π2+32+sinπ2+32=4,故选A. 13.(2018浙江诸暨中学模拟)将函数f(x)=sinx+5π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再把得到的图象向右平移π3个单位,得到的新图象的函数解析式为g(x)=　　　　　,g(x)的单调递减区间是　　　　　. 答案sin2x+π6　kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z　 解析将函数f(x)=sinx+5π6图象上各点横坐标缩短到原来的12倍,得y=sin2x+5π6,再把得到的图象向右平移π3个单位,得g(x)=sin2x-π3+5π6=sin2x+π6;由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,即kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z),所以g(x)的单调递减区间是kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z). 14.(2018浙江舟山中学模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,φ∈0,π2的图象如图所示,则函数f(x)的解析式为　　　　　,方程f(x)=m(其中20,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: ωx+φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)请将上表数据补充完整,并求出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数y=g(x)的图象.若关于x的方程g(x)-(2m+1)=0在区间0,π2上有两个不同的解,求实数m的取值范围. 解(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-π6. 数据补全如下表: ωx+φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 13π12 Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 且函数表达式为f(x)=5sin2x-π6. (2)通过平移,g(x)=5sin2x+π6,方程g(x)-(2m+1)=0可看成函数y=g(x)和函数y=2m+1的图象在0,π2上有两个交点,当x∈0,π2时,2x+π6∈π6,7π6,为使直线y=2m+1与函数y=g(x)的图象在0,π2上有两个交点,结合函数y=g(x)在0,π2上的图象,只需52≤2m+1<5,解得34≤m<2.即实数m的取值范围为34,2. 16.已知函数f(x)=4cos ωxsinωx+π6+a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a和ω的值; (2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间. 解(1)f(x)=4cosωxsinωx+π6+a =4cosωx32sinωx+12cosωx+a =23sinωxcosωx+2cos2ωx-1+1+a =3sin2ωx+cos2ωx+1+a=2sin2ωx+π6+1+a. 当sin2ωx+π6=1时,f(x)取得最大值2+1+a=3+a. 又f(x)最高点的纵坐标为2,∴3+a=2,即a=-1. 又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π, ∴f(x)的最小正周期为T=π, ∴2ω=2πT=2,ω=1. (2)由(1)得f(x)=2sin2x+π6, 由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z, 得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z.令k=0,得π6≤x≤2π3. ∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为π6,2π3.