（新课标）天津市2019年高考数学二轮复习 题型练4 大题专项（二）数列的通项、求和问题 理.doc

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题型练4　大题专项(二)数列的通项、求和问题 1.设数列{an}的前n项和为Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)≠0. (1)求{an}的通项公式; (2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列. 2.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为Sn,bn=1Sn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设数列{bn}前n项和为Tn,求Tn. 3.(2018浙江,20)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n. (1)求q的值; (2)求数列{bn}的通项公式. 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公比为q的等比数列{bn}的首项是12,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40. (1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn; (2)求数列1anan+1+1bnbn+1的前n项和Tn. 5.已知数列{an}满足a1=12,且an+1=an-an2(n∈N*). (1)证明:1≤anan+1≤2(n∈N*); (2)设数列{an2}的前n项和为Sn,证明:12(n+2)≤Snn≤12(n+1)(n∈N*). 6.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*. (1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式; (2)设双曲线x2-y2an2=1的离心率为en,且e2=53,证明:e1+e2+…+en>4n-3n3n-1.  题型练4　大题专项(二) 数列的通项、求和问题 1.(1)解 当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1. 当n≥2时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,两式相减,得an=qan-1. 又q(q-1)≠0,所以{an}是以1为首项,q为公比的等比数列,故an=qn-1. (2)证明 由(1)可知Sn=1-anq1-q,又S3+S6=2S9, 所以1-a3q1-q+1-a6q1-q=2(1-a9q)1-q, 化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列. 2.解 (1)∵在等差数列{an}中,a1=1,公差d=1, ∴Sn=na1+n(n-1)2d=n2+n2,∴bn=2n2+n. (2)bn=2n2+n=2n(n+1)=21n-1n+1,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=2112+123+134+…+1n(n+1)=21-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.故Tn=2nn+1. 3.解 (1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8. 由a3+a5=20,得8q+1q=20, 解得q=2或q=12,因为q>1,所以q=2. (2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}前n项和为Sn, 由cn=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2,解得cn=4n-1. 由(1)可知an=2n-1, 所以bn+1-bn=(4n-1)12n-1. 故bn-bn-1=(4n-5)12n-2,n≥2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1) =(4n-5)12n-2+(4n-9)12n-3+…+712+3. 设Tn=3+712+11122+…+(4n-5)12n-2,n≥2, 12Tn=312+7122+…+(4n-9)12n-2+(4n-5)12n-1, 所以12Tn=3+412+4122+…+412n-2-(4n-5)12n-1, 因此Tn=14-(4n+3)12n-2,n≥2, 又b1=1,所以bn=15-(4n+3)12n-2. 4.解 (1)设{an}公差为d,由题意得a1+2d=8,a1+2q=3,a1+d+2q=6,解得a1=2,d=3,q=12,故an=3n-1,bn=12n. (2)∵1anan+1+1bnbn+1=131an-1an+1+1bnbn+1=131an-1an+1+22n+1, ∴Tn=1312-15+15-18+…+13n-1-13n+2+8(1-4n)1-4=1312-13n+2+13(22n+3-8)=1322n+3-13n+2-52. 5.证明 (1)由题意得an+1-an=-an2≤0,即an+1≤an,故an≤12.由an=(1-an-1)an-1,得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0. 由00,故q=2. 所以an=2n-1(n∈N*). (2)证明 由(1)可知,an=qn-1. 所以双曲线x2-y2an2=1的离心率en=1+an2=1+q2(n-1). 由e2=1+q2=53,解得q=43. 因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以1+q2(k-1)>qk-1(k∈N*). 于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn-1q-1, 故e1+e2+…+en>4n-3n3n-1.