（浙江专版）2018-2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线的位置关系学案 新人教A版选修2-1.doc

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2.5　直线与圆锥曲线的位置关系 学习目标　1.了解直线与圆锥曲线的交点个数与相应方程组的解的对应关系.2.能用判别式法研究直线与圆锥曲线的位置关系.3.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的简单问题的基本解法.4.掌握直线与圆锥曲线有关的综合问题的解决方法． 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)相离⇔直线与圆锥曲线无公共点． (2)相切⇒直线与圆锥曲线有一个公共点． (3)相交⇒ 2．弦长公式 当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为： 若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝. 3．直线与圆锥曲线位置关系的判定 直线与圆锥曲线的方程联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0. 方程特征 交点个数 位置关系 直线与椭圆 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相离 直线与双曲线 a＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相离 直线与抛物线 a＝0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相离 应用弦长公式时注意的问题 直线与圆锥曲线的弦长问题一定注意直线斜率不存在的情况，同时，当直线过x轴上一个定点(c,0)时，直线方程设为x＝my＋c，此种设法，在抛物线中运用，显得更为方便． (1)椭圆＋＝1上的点到焦点距离的最大值是a＋c.(√) (2)过点(2,4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．() (3)设点P(x0，y0)为双曲线－＝1上的任一点，则|x0|≥a.() 类型一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1　直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，求m2的值． 解　因为直线与椭圆只有一个交点，由消去y，得(1＋4m2)x2＋8mx＋3＝0，所以由Δ＝64m2－12(1＋4m2)＝16m2－12＝0，解得m2＝. 引申探究 1．典例中若直线与椭圆相交，弦的中点的轨迹方程是什么？ 解　由得(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0， Δ＝64m2－12(4m2＋1)＝16m2－12>0，即m2>， 设中点M(x，y)，交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 消去m，得x2＋4y2－4y＝0. 2．典例中若直线与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长． 解　由得(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0， Δ＝64m2－12(4m2＋1)＝16m2－12>0， 即m>或m<－， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则 因此|AB|＝＝ ＝. 反思与感悟　直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 跟踪训练1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝64m2－49(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－33时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 类型二　弦长问题 例2　(2017宁波检测)设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆M的方程； (2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值． 解　(1)由题意可知，双曲线的离心率为， 则椭圆的离心率e＝＝. 由得a＝2，c＝，b＝， 故椭圆M的方程为＋＝1. (2)联立方程消去y，得4x2＋2mx＋m2－4＝0， 由Δ＝8m2－16(m2－4)>0， 得－2b>0)，直线l1：－＝1被椭圆C截得的弦长为2，过椭圆C的右焦点且斜率为的直线l2被椭圆C截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆C的方程． 解　由l1被椭圆C截得的弦长为2，得a2＋b2＝8. 设l2：y＝(x－c)，代入椭圆C的方程并化简，得 (b2＋3a2)x2－6a2cx＋a2(3c2－b2)＝0. 设直线l2与椭圆C交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由根与系数的关系，得x1＋x2＝， x1x2＝， 从而|x1－x2|＝ ＝ ＝， 则由弦长公式，得|MN|＝＝. 化简，得a2＝3b2. 联立a2＋b2＝8，a2＝3b2，得a2＝6，b2＝2， 故椭圆C的方程为＋＝1. 类型三　圆锥曲线中的综合问题 例3　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN||BM|为定值． (1)解　由已知＝，ab＝1. 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝. ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明　由(1)知，A(2,0)，B(0,1)． 设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1. 当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)， 令x＝0得yM＝. 从而|BM|＝|1－yM|＝. 直线PB的方程为y＝x＋1. 令y＝0得xN＝. ∴|AN|＝|2－xN|＝. ∴|AN||BM|＝ ＝ ＝ ＝＝4. 当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， ∴|AN||BM|＝4. 故|AN||BM|为定值． 反思与感悟　定值问题类型及常见解法 (1)直线过定点型，一般通过运算使直线方程中只含一个参数来求定点． (2)参数和为定值型，往往把参数用交点坐标表示，根据根与系数的关系代入化简为某一常数． 跟踪训练3　椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值． (1)解　因为e＝＝，故＝＝1－＝， 所以a＝2b. 再由a＋b＝3，得a＝2，b＝1， 故椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明　因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则可设BP的方程为y＝k(x－2).① 将①代入＋y2＝1，解得P. 又直线AD的方程为y＝x＋1，② ①与②联立解得M. 由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线可解得N. 所以MN的斜率为m＝， 则2m－k＝－k＝(定值)． 例4　(2017杭州检测)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程． 解　(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝. 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)当直线l⊥x轴时不合题意，故设直线l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 将y＝kx－2代入＋y2＝1得， (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时， x1,2＝. 从而|PQ|＝|x1－x2| ＝. 又点O到直线PQ的距离d＝， 所以△OPQ的面积 S△OPQ＝d|PQ|＝. 设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝. 因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝时等号成立，且满足Δ>0， 所以当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为 y＝x－2. 反思与感悟　最值问题的两种常见求法 (1)数形结合法：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时Δ>0等)，通过解不等式(组)求得参数的取值范围． (2)目标函数法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域，最后确定最值． 跟踪训练4　已知椭圆＋＝1，动直线l与椭圆交于B，C两点．若点B的坐标为，求△OBC面积的最大值． 解　直线OB的方程为y＝x，即3x－2y＝0， 设经过点C且平行于直线OB的直线l′的方程为y＝x＋b， 则当l′与椭圆只有一个公共点时，△OBC的面积最大． 联立化为3x2＋3bx＋b2－3＝0， 由Δ＝9b2－12(b2－3)＝0，解得b＝2. 当b＝2时，C； 当b＝－2时，C. 所以△OBC面积的最大值为＝.  1．平面上到定点A(1,0)和到定直线l：x＋2y＋3＝0的距离相等的点的轨迹为(　　) A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆 答案　B 2．一条直线与双曲线的两支交点个数最多为(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　B 3．抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 4．若直线ax－y＋1＝0与抛物线y2＝4x有两交点，则实数a的取值范围是______________． 答案　(－∞，0)∪(0,1) 5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，|AB|＝2，则该椭圆的方程为________，离心率为________． 答案　＋＝1　 1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切． 2．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件． 一、选择题 1．(2017金华检测)直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为(　　) A．1 B．1或3 C．0 D．1或0 答案　D 2．(2017台州检测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A．(1，) B．(1，] C．(，＋∞) D．[，＋∞) 答案　C 3．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|＝6，＝λ，则λ的值为(　　) A.B.C.D．3 答案　D 4．已知双曲线－＝1 (b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 5．已知双曲线方程为－＝1，过点(2，0)作直线l与双曲线交于两点A，B，记满足|AB|＝m的直线l的条数为f(m)，则f(m)的可能取值为(　　) A．0,2,4 B．1,2,3,4 C．0,1,2,3,4 D．2,4 答案　A 6．(2017金华检测)过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则＋的最大值等于(　　) A．－4B．－16C．4D．－8 答案　B 二、填空题 7．若斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________． 答案　 8．抛物线焦点在y轴上，截得直线y＝x＋1的弦长为5，则抛物线的标准方程为________________，准线方程为______________． 答案　x2＝4y或x2＝－20y　y＝－1或y＝5 9．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围为________________． 答案　(2,4) 解析　如图， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则 两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条． 当k存在时，x1≠x2， 则有＝2， 又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2. 由CM⊥AB，得k＝－1， 即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3， 即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y2＝4x， 得y2＝12，则有－24(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)， 所以4b>0)，其中e＝，焦距为2，过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间，又点A，B的中点横坐标为，且＝λ. (1)求椭圆C的标准方程； (2)求实数λ的值． 解　(1)由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，椭圆的标准方程是＋＝1. (2)由＝λ，可知A，B，M三点共线， 设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，显然AB所在直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)． 由消去y，得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，① 由①的判别式Δ＝322k4－4(4k2＋3)(64k2－12) ＝144(1－4k2)>0，解得k2<，且 由(x1＋x2)＝＝，可得k2＝， 将k2＝代入方程①，得7x2－8x－8＝0， x1,2＝， 又因为＝(4－x1，－y1)，＝(x2－4，y2)， ＝λ. 所以λ＝，所以λ＝. 12．(2017温州检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2. (1)求椭圆的方程； (2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当＝0时，求点P的坐标． 解　(1)由题意可知 解得a＝2，b＝， 所以椭圆方程是＋＝1. (2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为y＝k(x－2)， D(x1，y1)， 把y＝k(x－2)代入椭圆方程＋＝1. 整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0， 所以2＋x1＝，即x1＝， 则D， 所以BD中点的坐标为， 则直线BD的垂直平分线方程为 y－＝－， 得P，又＝0， 即＝0， 化简得＝0，即16k4＋7k2－9＝0， 解得k＝. 故P或. 13．(2017绍兴检测)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点． (1)求点A，B的坐标； (2)求△PAB的面积． 解　(1)由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)， 由消去y整理得 x2－4kx＋4kt＝0. 因为直线PA与抛物线相切，所以Δ＝16k2－16kt＝0，解得k＝t.所以x＝2t，即点A(2t，t2)． 圆C2的圆心为D(0,1)，设点B的坐标为(x0，y0)，由题意知，点B，O关于直线PD对称，故有 解得x0＝，y0＝. 即点B. (2)由(1)知，|AP|＝t， 直线AP的方程为tx－y－t2＝0，所以点B到直线PA的距离为d＝. 所以△PAB的面积为S＝|AP|d＝. 四、探究与拓展 14．已知双曲线x2－＝1，过点P(2,1)作一条直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为________，方程为________________________________． 答案　6　6x－y－11＝0 15．(2017杭州检测)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P，过它的两个焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1⊥l2. (1)求椭圆的标准方程； (2)求四边形ACBD的面积S的取值范围． 解　(1)由＝，得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2， 将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，故所求椭圆方程为＋＝1. (2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S＝6. 若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－. 不妨设直线l1的方程为y＝k(x＋1)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 消去y整理得，(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144k2＋144>0， x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以|x1－x2|＝＝. |AB|＝|x1－x2|＝. 同理可得|CD|＝， 所以S＝|AB||CD|＝， 令k2＝t∈(0，＋∞)， S＝ ＝＝6－ ≥6－＝， 故S∈， 综上可知，四边形ACBD面积S的取值范围是.