（浙江专版）2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 第二课时 导数的运算法则学案 新人教A版选修2-2.doc

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第二课时　导数的运算法则 　预习课本P15～18，思考并完成下列问题 (1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？ 　 (2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？ 　 　 　　　 1．导数的四则运算法则 (1)条件：f(x)，g(x)是可导的． (2)结论：①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)． ②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． ③′＝(g(x)≠0)． [点睛]　应用导数公式的注意事项 (1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导． (4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程． 2．复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是y＝f(g(x))． ②可分解为y＝f(u)与u＝g(x)，其中u称为中间变量． (2)求导法则：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：yx′＝yu′ux′. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“”) (1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　) (2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　) (3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　　) 答案：(1)　(2)√　(3) 2．函数y＝sin xcos x的导数是(　　) A．y′＝cos 2x＋sin 2x　　 　B．y′＝cos 2x C．y′＝2cos xsin x D．y′＝cos xsin x 答案：B 3．函数y＝xcos x－sin x的导数为________． 答案：－xsin x 4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________. 答案：1 利用导数四则运算法则求导 [典例]　求下列函数的导数： (1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3ex；(3)y＝. [解]　 (1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′ ＝2x＋. (2)y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′ ＝3x2ex＋x3ex＝ex(x3＋3x2)． (3)y′＝′＝ ＝＝－. 求函数的导数的策略 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．　　　　　　 [活学活用] 求下列函数的导数： (1)y＝sin x－2x2；(2)y＝cos xln x；(3)y＝. 解：(1)y′＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′＝cos x－4x. (2)y′＝(cos xln x)′＝(cos x)′ln x＋cos x(ln x)′ ＝－sin xln x＋. (3)y′＝′＝ ＝＝. 复合函数的导数运算 [典例]　求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝esin(ax＋b)； (3)y＝sin2；(4)y＝5log2(2x＋1)． [解]　(1)设y＝u，u＝1－2x2， 则y′＝(u)′(1－2x2)′＝(－4x) ＝－(1－2x2) (－4x)＝2x(1－2x2) . (2)设y＝eu，u＝sin v，v＝ax＋b， 则yx′＝yu′uv′vx′＝eucos va ＝acos(ax＋b)esin(ax＋b)． (3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋， 则yx′＝yu′uv′vx′＝2ucos v2 ＝4sin vcos v＝2sin 2v＝2sin. (4)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′ ＝＝. 1．求复合函数的导数的步骤 2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．　　　　　　 [活学活用] 求下列函数的导数： (1)y＝(3x－2)2；　(2)y＝ln(6x＋4)； (3)y＝e2x＋1；　(4)y＝； (5)y＝sin；(6)y＝cos2x. 解：(1)y′＝2(3x－2)(3x－2)′＝18x－12； (2)y′＝(6x＋4)′＝； (3)y′＝e2x＋1(2x＋1)′＝2e2x＋1； (4)y′＝(2x－1)′＝ . (5)y′＝cos′＝3cos. (6)y′＝2cos x(cos x)′＝－2cos xsin x＝－sin 2x. 与切线有关的综合问题 [典例]　(1)函数y＝2cos2x在x＝处的切线斜率为________． (2)已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)， ①求f(1)＋f′(1)． ②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． [解析]　(1)由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x，得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，所以函数在x＝处的切线斜率为－2sin＝－1. 答案：－1 (2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋， 所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1. ②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点， 即f′(x)＝0⇒2ax＋＝0有正实数解， 即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)． 关于函数导数的应用及其解决方法 (1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用． (2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．　　　　　　 [活学活用] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a的值为(　　) A．－1或－　　　　　 　B．－1或 C．－或－ D．－或7 解析：选A　设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)， 则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x. 又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝. 当x0＝0时，直线方程为y＝0. 由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－. 当x0＝时，直线方程为y＝x－. 由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1. 层级一　学业水平达标 1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B. C．－1 D．0 解析：选A　∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax， 又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1. 2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D　y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4. 3．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为(　　) A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2 C．y＝x－1 D．y＝x＋1 解析：选C　∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1. 4. 已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为(　　) A. B. C. D. 解析：选D　∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝. 5．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选D　y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3. 6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝312－1＝2. ∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 7．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________. 解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1. 答案：1 8．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________． 解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x， ∴f′＝－f′＋， 得f′＝－1. ∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x. ∴f＝1. 答案：1 9．求下列函数的导数： (1)y＝xsin2x；(2)y＝； (3)y＝；(4)y＝cos xsin 3x. 解：(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′ ＝sin2x＋x2sin x(sin x)′＝sin2x＋xsin 2x. (2)y′＝ ＝ . (3)y′＝ ＝ ＝. (4)y′＝(cos xsin 3x)′ ＝(cos x)′sin 3x＋cos x(sin 3x)′ ＝－sin xsin 3x＋3cos xcos 3x ＝3cos xcos 3x－sin xsin 3x. 10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式． 解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1. 又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)． 故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e. ∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1. ∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2， ∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1. ∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1. ∴a＝，c＝－. ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1. 层级二　应试能力达标 1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　) A．－1　　　　　　　　　 　B．－2 C．2 D．0 解析：选B　∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 2．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　) A．2e B．e C．2 D．1 解析：选C　函数的导数为f′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1， 当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2，故选C. 3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝(　　) A．e－1 B．－1 C．－e－1 D．－e 解析：选C　∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x， ∴f′(x)＝2f′(e)＋， ∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C. 4．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为(　　) A．(－1,2) B．(1，－3) C．(1,0) D．(1,5) 解析：选C　设点P的坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝4x3－1，所以f′(x0)＝4x－1＝3，即x0＝1，把x0＝1代入函数f(x)＝x4－x得y0＝0，所以点P的坐标为(1,0)． 5．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________． 解析：∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝，设切点为(x0，y0)， 则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且＝2， 解之得a＝ln 2. 答案：ln 2 6．曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是____________． 解析：y′＝－，则y′＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1. 答案：2－1 7．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0. (1)求a，b的值； (2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a， 由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6， 解得a＝1，b＝－16. (2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝1. 由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14， 或y0＝－1－1－16＝－18. 则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 8．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2. (1)求fn′(2)； (2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜. 解：(1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1. 所以fn′(2)＝1＋22＋…＋(n－1)2n－2＋n2n－1，① 则2fn′(2)＝2＋222＋…＋(n－1)2n－1＋n2n，② ①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n2n ＝－n2n＝(1－n)2n－1， 所以fn′(2)＝(n－1)2n＋1. (2)因为f(0)＝－1＜0， fn＝－1＝1－2n≥1－22＞0， 因为x≥0，n≥2. 所以fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数， 所以fn(x)在内单调递增， 因此fn(x)在内有且仅有一个零点an. 由于fn(x)＝－1， 所以0＝fn(an)＝－1， 由此可得an＝＋a＞， 故＜an＜. 所以0＜an－＝a＜n＋1＝.