（通用版）2019高考数学二轮复习 第一篇 第2练 复数与平面向量精准提分练习 文.docx

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第2练　复数与平面向量 [明晰考情]　1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度. 考点一　复数的概念与四则运算 要点重组　(1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数. (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R). (5)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数. 1.(2018全国Ⅱ)等于(　　) A.－－i B.－＋i C.－－i D.－＋i 答案　D 解析　＝＝＝ ＝－＋i. 故选D. 2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2等于(　　) A.5－4i B.5＋4i C.3－4i D.3＋4i 答案　D 解析　由已知得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i， ∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D. 3.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i， 反过来(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i， 则a2－b2＝0,2ab＝2， 解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1. 故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件， 故选A. 4.复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________. 答案　5 解析　z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z的实部为5. 考点二　复数的几何意义 要点重组　(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 5.设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虚数单位)，则a等于(　　) A.3B.－3C.D.－ 答案　B 解析　(1＋3i)(1＋ai)＝1＋ai＋3i－3a， ∵(1＋3i)(1＋ai)∈R， ∴虚部为0，则a＋3＝0，∴a＝－3. 6.(2018株洲质检)设复数z满足(1＋i)z＝i，则|z|等于(　　) A. B. C. D.2 答案　A 解析　由(1＋i)z＝i， 得z＝＝＝＋i， ∴|z|＝＝. 7.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝__________. 答案　2 解析　由题意知，z1＝－2－i，z2＝i， ∴z1＋z2＝－2， ∴|z1＋z2|＝2. 8.已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于第________象限. 答案　二 解析　因为i4n＋k＝ik(n∈Z)，且i＋i2＋i3＋i4＝0， 所以i＋i2＋i3＋…＋i2019＝i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1， 所以z＝＝＝－(1－i)＝－＋i，对应的点为，在第二象限. 考点三　平面向量的线性运算 方法技巧　(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减. (2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R. (3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决. 9.(2018全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　作出示意图如图所示. ＝＋＝＋ ＝(＋)＋(－)＝－. 故选A. 10.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　) A.B.C.1D.3 答案　B 解析　∵＝，∴＝， ∴＝m＋＝m＋. 又B，N，P三点共线，∴m＋＝1， ∴m＝. 11.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A.2 B. C. D. 答案　D 解析　方法一　如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系， 设正方形边长为1，＝，＝，＝(1,1). ∵＝λ＋μ＝λ＋μ＝， ∴解得故λ＋μ＝. 方法二　以，作为基底， ∵M，N分别为BC，CD的中点， ∴＝＋＝＋， ＝＋＝－， ∴＝λ＋μ＝＋， 又＝＋， 因此解得 所以λ＋μ＝. 12.若|a|＝1，|b|＝，且|a－2b|＝，则向量a与向量b夹角的大小是________. 答案　 解析　由|a－2b|＝，得|a|2－4ab＋4|b|2＝7， ∴1－4ab＋43＝7，∴ab＝. ∴cos〈a，b〉＝＝＝，又∵0≤〈a，b〉≤π， ∴〈a，b〉＝. 考点四　平面向量的数量积 方法技巧　(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法. (2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法. 13.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　A 解析　b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3,4)，且(b＋λa)⊥c，所以(b＋λa)c＝0，即3(1＋λ)＋2λ4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－. 14.(2017全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则(＋)的最小值是(　　) A.－2 B.－ C.－ D.－1 答案　B 解析　方法一　(解析法) 建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1，0)，C(1,0). 图① 设P点的坐标为(x，y)， 则P＝(－x，－y)， ＝(－1－x，－y)， ＝(1－x，－y)， ∴(＋)＝(－x，－y)(－2x，－2y) ＝2(x2＋y2－y)＝2 ≥2＝－. 当且仅当x＝0，y＝时，(＋)取得最小值，最小值为－. 故选B. 方法二　(几何法) 如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则(＋)＝2. 图② 要使最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2)min＝－2||||， 问题转化为求||||的最大值. 又当点P在线段AD上时，||＋||＝||＝2＝， ∴||||≤2＝2＝， ∴[(＋)]min＝(2)min＝－2＝－. 故选B. 15.(2016全国Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC等于(　　) A.30B.45C.60D.120 答案　A 解析　||＝1，||＝1， cos∠ABC＝＝. 又∵0≤∠ABC≤180， ∴∠ABC＝30. 16.在平面内，＝＝＝6，动点P，M满足||＝2，＝，则||2的最大值是________. 答案　16 解析　由已知易得△ABC是等边三角形且边长为2. 设O是△ABC的中心，则||＝||＝||＝2. 以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系， 如图所示， 则A(2,0)，B(－1，－)，C(－1，). 设P(x，y)，由已知||＝2， 得(x－2)2＋y2＝4.∵＝， ∴M，∴＝， ∴||2＝， 它表示圆(x－2)2＋y2＝4上的点P(x，y)与点D(－1，－3)的距离的平方的， ∵||max＝＋2＝＋2＝8， ∴||＝＝16. 1.(2017全国Ⅰ)设有下面四个命题： p1：若复数z满足∈R，则z∈R； p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2； p4：若复数z∈R，则∈R. 其中的真命题为(　　) A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p4 答案　B 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)， z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R). 对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0，即z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题； 对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题； 对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0D⇒/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题； 对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题.故选B. 2.在△ABC中，有如下命题，其中正确的是________.(填序号) ①－＝； ②＋＋＝0； ③若(＋)(－)＝0，则△ABC为等腰三角形； ④若>0，则△ABC为锐角三角形. 答案　②③ 解析　在△ABC中，－＝，①错误； 若>0，则B是钝角，△ABC是钝角三角形，④错误. 3.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________. 答案　∪ 解析　a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)， 由a(a＋λb)>0，可得λ>－. 又a与a＋λb不共线， ∴λ≠0. 故λ>－且λ≠0. 解题秘籍　(1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确. (2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到. (3)注意向量夹角的定义和范围.在△ABC中，和的夹角为π－B；向量a，b的夹角为锐角要和ab>0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理). 1.设i是虚数单位，则复数i3－等于(　　) A.－i B.－3i C.i D.3i 答案　C 解析　i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.故选C. 2.已知＝b＋i(a，b∈R)，则a＋b等于(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案　B 解析　方法一　由已知可得a＋2i＝(b＋i)i，即a＋2i＝bi－1. 由复数相等可得所以a＋b＝1. 方法二　＝2－ai＝b＋i，由复数相等可得解得所以a＋b＝1. 3.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　B 解析　＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知，－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B. 4.(2018安庆模拟)在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A. B.－ C.2 D.－2 答案　B 解析　因为点D在边BC上，所以存在t∈R， 使得＝t＝t. 因为M是线段AD的中点，所以＝(＋)＝＝－(t＋1)＋t. 又＝λ＋μ， 所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，所以λ＋μ＝－. 5.“复数z＝在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　D 解析　由题意得z＝a－3i， 若z在复平面内对应的点在第三象限，则a<0， 故选D. 6.(2018通州期末)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＋＝0，且||＝||，则等于(　　) A. B. C.3 D.2 答案　C 解析　∵＋＋＝0，∴＝－，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形， 又△ABC的外接圆的半径为1，||＝||，∴BC＝2，AB＝1，CA＝，∠BCA＝30， ∴＝||||cos30＝2＝3. 7.已知a>0，＝2，则a等于(　　) A.2B.C.D.1 答案　B 解析　＝＝＝2， 即a2＝3. 又∵a>0， ∴a＝. 8.(2018梧州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝，若向量m满足|m－2－|＝3，则|m|的最大值与最小值的和为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　D 解析　由AB＝2，AC＝3，BC＝，得BC2＝AB2＋AC2，即∠A为直角.以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,3)，设m的终点坐标为(x，y)，∵|m－2－|＝3，∴(x－4)2＋(y－3)2＝9，故|m|的最大值与最小值分别为圆(x－4)2＋(y－3)2＝9上的点到原点距离的最大值和最小值，故最大值为5＋3＝8，最小值为5－3＝2，即最大值与最小值之和为10， 故选D. 9.已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z12是实数，则实数t＝________. 答案　 解析　∵z2＝t＋i，∴2＝t－i， ∴z12＝(3＋4i)(t－i)＝3t－3i＋4ti－4i2 ＝(3t＋4)＋(4t－3)i. 又∵z12是实数，∴4t－3＝0，即t＝. 10.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积之比为________. 答案　 解析　设AB的中点为D， 由5＝＋3， 得3－3＝2－2， 即3＝2. 故C，M，D三点共线， 如图所示，＝， 也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5， 则△ABM与△ABC的面积之比为. 11.已知z＝1＋i，则－z2的共轭复数是__________. 答案　1＋3i 解析　∵z＝1＋i， ∴－z2＝－(1＋i)2＝－2i ＝1－i－2i＝1－3i， ∴－z2的共轭复数是1＋3i. 12.(2018瓦房店模拟)直线ax＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，若＝－2，则a＝________. 答案　 解析　圆心到直线的距离是d＝.又圆的半径是2, 由＝－2，得||||cos∠ACB＝－2，解得cos∠ACB＝－， ∵0≤∠ACB≤π， ∴∠ACB＝， ∴cos＝＝＝，∴a＝.