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阶段质量检测（三） 三角恒等变换
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则cos的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由题意，sin α＝，
所以cos＝coscos α＋sinsin α＝.
2．函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2,2] B.
C．[－1,1] D.
解析：选B f(x)＝sin x－
＝sin x－cos x＋sin x
＝
＝sin，
∵x∈R，∴x－∈R，
∴f(x)∈.
3．设a＝(sin 17＋cos 17)，b＝2cos213－1，c＝sin 37sin 67＋sin 53sin 23，则( )
A．c
1)的两根为tan α，tan β，且α，β∈，则tan的值为( )
A．－2 B.
C. D.或－2
解析：选A 根据题意得tan α＋tan β＝－4a，tan αtan β＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝＝＝.
又∵a>1，∴tan α＋tan β<0，tan αtan β>0，
∴tan α<0，tan β<0.
又∵α，β∈，∴α，β∈，
∴－<<0，∴tan<0，
由tan(α＋β)＝得
2tan2＋3tan－2＝0，
∴tan＝－2.
8．已知0<β<α<，点P(1,4)为角α的终边上一点，且sin αsin＋cos αcos＝，则角β＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵P(1,4)，∴|OP|＝7，
∴sin α＝，cos α＝.
又sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝－＝.
∵0<β<，∴β＝.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)
9．若tan＝3＋2，则＝________.
解析：由tan＝＝3＋2，得tan α＝，∴＝＝tan α＝.
答案：
10.＝________.
解析：原式＝
＝＝
＝＝＝－4.
答案：－4
11．式子“cos( )(1＋tan 10)＝1”，在括号里填上一个锐角，使得此式成立，则所填锐角为________．
解析：设cos α(1＋tan 10)＝1，则cos α＝＝＝
＝＝cos 40.
又α为锐角，故α＝40.
答案：40
12．已知f(x)＝sin x－cos x，则f的最小正周期为________；若f(x)＝，则cos＝________.
解析：∵f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
∴f＝2sin ，∴最小正周期T＝4π.
由f(x)＝，得sin＝，
则cos＝－cos＝
－cos＝－
＝－
＝－.
答案：4π －
13．已知＝－(0＜α＜π)，则sin α＋cos α＝________，cos 2α＝________.
解析：由＝－，得cos 2α＝(sin α－cos α)，且sin α－cos α≠0，则cos α＋sin α＝－，
∴sin 2α＝－＜0.
∵0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴cos α－sin α
＝－＝－.
∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝.
答案：－
14．若sin α＋2cos α＝－(0＜α＜π)，则tan α＝________；cos＝________.
解析：由sin α＋2cos α＝－(0＜α＜π)可知，α为钝角，又sin2α＋cos2α＝1，可得sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝－.sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，所以cos＝cos 2αcos －sin 2αsin＝.
答案：－
15．函数f(x)＝sin x＋cos x的单调增区间为________，已知sin α＝，且α∈，则f＝________.
解析：f(x)＝sin x＋cos x＝sin，
当2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z时，
函数f(x)单调递增，
所以f(x)的递增区间是，k∈Z.
因为sin α＝，α∈，所以cos α＝，
所以f＝sin＝
sin＝sin α＋cos α
＝＋
＝.
答案：，k∈Z
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求的值；
(2)求tan的值．
解：(1)由0<α<，sin α＝，得cos α＝，
∴＝
＝＝20.
(2)∵tan α＝＝，
∴tan＝＝＝.
17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝cos ωx，g(x)＝sinωx－(ω>0)，且g(x)的最小正周期为π.
(1)若f(α)＝，α∈[－π，π]，求α的值．
(2)求函数y＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
解：(1)因为g(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，
所以＝π，解得ω＝2.
由f(α)＝，得cos 2α＝，
即cos 2α＝，
所以2α＝2kπ，k∈Z.
因为α∈[－π，π]，
所以α∈.
(2)函数y＝f(x)＋g(x)
＝cos 2x＋sin
＝cos 2x＋sin 2xcos－cos 2xsin
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z.
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝f(x)＋g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
18．(本小题满分15分)已知cos＝，x∈，.
(1)求sin x的值；
(2)求sin的值．
解：(1)因为x∈，所以x－∈.
于是sin＝ ＝，
sin x＝sin
＝sincos＋cossin
＝＋＝.
(2)因为x∈，
故cos x＝－＝－ ＝－.
sin 2x＝2sin xcos x＝－，cos 2x＝2cos2x－1＝－.
所以sin＝sin 2xcos＋cos 2xsin
＝－.
19．(本小题满分15分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos；
(2)tan(α＋β)．
解：(1)∵<α<π，0<β<，
∴<α－<π，－<－β<.
∴sin＝ ＝，
cos＝ ＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝＋
＝－.
(2)∵<<，
∴sin＝ ＝.
∴tan＝＝－.
∴tan(α＋β)＝＝.
20．(本小题满分15分)已知f(x)＝sin x＋2sin＋cos.
(1)若f(α)＝，α∈，求α的值；
(2)若sin＝，x∈，求f(x)的值．
解：f(x)＝sin x＋2sincos
＝sin x＋sin＝sin x＋cos x＝sin.
(1)由f(α)＝，得sin＝，
∴sin＝.
∵α∈，∴α＋∈.
∴α＋＝，∴α＝－.
(2)∵x∈，∴∈.
又∵sin＝，∴cos＝.
∴sin x＝2sincos＝，
cos x＝－＝－.
∴f(x)＝sin x＋cos x＝－＝.
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