2019届高三数学12月月考试题 理 (VIII).doc

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2019届高三数学12月月考试题 理 (VIII) 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、考号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，，则 A．　　　　　 B． C． D． 2．若复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则 A． B．2 C． D．3 3. 某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 A.20 B.10 C.7 D.5 4．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要 A．7天 B．8天 C．9天 D．10天 5．在矩形中，，若向该矩形内随机投一点，那么使得与的面积都不小于3的概率为 A． B． C． D． 6. 执行如图所示的算法，则输出的结果是 A． B． C． D． 7. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体外接球的表面积为 A. B. C. D. 9. 设为坐标原点，点为抛物线：上异于原点的任意一点，过点作斜率为的直线交轴于点，点是线段的中点，连接并延长交抛物线于点，则的值为 A． B． C． D． 10. 设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为 A．10 B．8 C．16 D．20 11. 已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则 A. B. C. D. 12. 在棱长为4的正方体中，是中点，点是正方形内的动点(含边界)，且满足，则三棱锥的体积最大值是 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量,的夹角为，，，则_______ ． 14.已知满足则最大值为_________． 15.在中，是边上一点，的 面积为，为锐角，则 ． 16.已知实数，，满足，其中是自然对数的底数，那么的 最小值为________． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答. 17. (本小题满分12分)已知数列的前n项和为,且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和. 18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥中，平面， 平面，， （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求的值. 19．(本小题满分12分)已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆 的公共弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点P（0，1）作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形，若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 20. (本小题满分12分)随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的 餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表： 以这80名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率。 （1）若某送餐员一天送餐的总距离为120千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数） （2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份10元。 (i)记X为送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求X的分布列和数学期望； (ii)若送餐员一天的目标收入不低于180元，试估计一天至少要送多少份外卖？ 21. (本小题满分12分)已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数存在极大值，且极大值为1，证明：. 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非 负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积. 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数 （1）解不等式； （2）若方程在区间有解，求实数的取值范围. 数学（理科）参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A B C C D D A C B C D 13． 14．4 15． 16． 17.解：（1)中令得， 由可得，，整理得， 所以是首项为－1，公比为－1的等比数列，故 . ……………5分 (2)由题意，.………7分 . ……………12分 18.解：（1）∵平面，平面，平面平面，∴，分别取中点，连接 则，，所以四边形为平行四边形. ∴，∵， ∴平面，∴平面 ∵平面，∴平面平面……………6分 （2）由（1）可得两两垂直， 以为原点建立空间直角坐标系，如图，则由已知条件有： 平面的一个法向量记为，则 ∴ 从而……………12分 19．（1）由题意可得，所以． 由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径， 可得椭圆经过点，所以，解得． 所以椭圆的方程为．………5分 （2）直线的解析式为，设，，的中点为．假设存在点 ，使得为以为底边的等腰三角形，则．由得， 故，所以，．………7分 因为，所以，即， 所以．………9分 当时，，所以．………11分 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为．12分 20.(1)估计每名外卖用户的平均送餐距离为： =2.35千米……3分 所以送餐距离为120千米，送餐份数为：份；………5分 （2）（Ⅰ）由题意知X的可能取值为：3，5，10 ，， 所以X的分布列为： X 3 5 10 P ……7分 所以E（X）=……9分 （Ⅱ）180份 所以估计一天至少要送39份外卖。……12分  21．解:（1）由题意，………1分 ① 当时，，函数在上单调递增；………2分 ② 当时，函数单调递增， ，故当时，，当时，，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增；………4分 ③ 当时，函数单调递减， ，故当时，，当时，，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减．………5分 （2）由（1）可知若函数存在极大值，则，且，解得，故此 时，………6分 要证，只须证，及证即可， 设，． ，令 ，所以函数单调递增， 又，， 故在上存在唯一零点， 即．……9分 所以当，，当时，，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增， 故， 所以只须证即可， 由，得， 所以，又，所以只要即可， 当时， 所以与矛盾， 故，得证．………12分 （另证） 当时， 所以与矛盾； 当时， 所以与矛盾； 当时， 得，故成立， 得，所以，即． 22. 解：（1）曲线化为普通方程为：,………………………2分 由，得，……………………4分 所以直线的直角坐标方程为.……………………………………5分 （2）直线的参数方程为（为参数），……………………7分 代入化简得：，…………………9分 设两点所对应的参数分别为，则， ∴. ………10分 23.解析：（1）可化为10 或或； 2＜x≤或或； 不等式的解集为；…………………5分 （2）由题意： 故方程在区间有解函数和函数图象在区间上有交点 当时， …………………10分