（通用版）2019高考数学二轮复习 第二篇 第20练 圆锥曲线的定义、方程与性质精准提分练习 文.docx
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第20练 圆锥曲线的定义、方程与性质 [明晰考情] 1.命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点.2.题目难度：中等偏难. 考点一 圆锥曲线的定义及标准方程 方法技巧 (1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件. (2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化. (3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”. 1.已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( ) A.y2－＝1 B.x2－＝1 C.y2－＝1(y≤－1) D.x2－＝1(x≥1) 答案 C 解析 由两点间距离公式，可得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，因为A，B都在椭圆上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支.由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)，故选C. 2.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案 A 解析 依题意得＝，① 又a2＋b2＝c2＝5，② 联立①②得a＝2，b＝1. ∴所求双曲线的方程为－y2＝1. 3.已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是________. 答案 解析 由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2， 所以|PF1|＝3，|PF2|＝1. 又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角， 所以＝|F1F2||PF2|＝21＝. 4.已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为________. 答案 3 解析 由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合.过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3. 考点二 圆锥曲线的几何性质 方法技巧 (1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式. (2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 5.(2018全国Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为( ) A.y＝x B.y＝x C.y＝x D.y＝x 答案 A 解析 双曲线－＝1的渐近线方程为bxay＝0. 又∵离心率＝＝， ∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0). ∴渐近线方程为axay＝0，即y＝x. 故选A. 6.(2018全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60，则C的离心率为( ) A.1－ B.2－ C. D.－1 答案 D 解析 在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)， 且焦距|F1F2|＝2， 则|PF2|＝1，|PF1|＝， 由椭圆的定义可知，2a＝1＋，2c＝2， 得a＝，c＝1， 所以离心率e＝＝＝－1. 7.(2017山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________. 答案 y＝x 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∴y1＋y2＝. 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋＋y2＋＝4， 即y1＋y2＝p， ∴＝p，即＝，∴＝， ∴双曲线的渐近线方程为y＝x. 8.已知A是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若＝λPF1，则双曲线的离心率为________. 答案 3 解析 因为＝λPF1，所以∥PF1， 所以＝＝(O为坐标原点)，即＝， 所以e＝＝3. 考点三 圆锥曲线的综合问题 方法技巧 (1)圆锥曲线范围、最值问题的常用方法 定义性质转化法；目标函数法；条件不等式法. (2)圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进行证明. 9.已知方程－＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－2，＋∞) C.∪(－1，＋∞) D.∪ 答案 D 解析 由－＝1转化成标准方程为＋＝1， 假设焦点在x轴上，则2＋m＞－(m＋1)＞0， 解得－＜m＜－1； 假设焦点在y轴上，则－(m＋1)＞2＋m＞0， 解得－2＜m＜－. 综上可知，m的取值范围为∪. 10.(2016四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( ) A.B.C.D.1 答案 C 解析 如图，由题意可知F，设P点坐标为，显然， 当y0<0时，kOM<0；当y0>0时，kOM>0.要求kOM的最大值，不妨设y0>0，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2时等号成立.故选C. 11.过抛物线y＝ax2 (a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AF，BF的长分别为m，n，则＝________. 答案 解析 显然直线AB的斜率存在，故设直线方程为y＝kx＋，与y＝ax2联立，消去y得ax2－kx－＝0， 设A(x1，ax)，B(x2，ax)，则x1＋x2＝，x1x2＝－， x＋x＝＋，m＝ax＋，n＝ax＋， ∴mn＝，m＋n＝，∴＝. 12.(2018齐齐哈尔模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围为________. 答案 解析 由已知得2b＝2，故b＝1， ∵△F1AB的面积为， ∴(a－c)b＝， ∴a－c＝2－， 又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1， ∴a＝2，c＝， ∴＋＝ ＝＝， 又2－≤|PF1|≤2＋， ∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4， ∴1≤＋≤4， 即＋的取值范围为. 1.若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为( ) A.[3－2，＋∞) B.[3＋2，＋∞) C. D. 答案 B 解析 由题意，得22＝a2＋1，即a＝，设P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，则＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1＝2－，因为x≥，所以的取值范围为[3＋2，＋∞). 2.若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的方程为________________. 答案 ＋＝1或＋＝1 解析 由题意，得 所以 所以b2＝a2－c2＝9. 所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋＝1；当椭圆焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1. 故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. 3.已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足⊥.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________. 答案 (1,2) 解析 设P(x，y)，由题设条件， 得动点P的轨迹方程为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0， 即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆. 又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝x，即bxay＝0， 由题意，可得>1，即>1，所以e＝<2， 又e>1，故1
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