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第26练 应用题
[明晰考情] 1.命题角度：应用题是江苏高考必考题，常见模型有函数、不等式、三角函数等.
2.题目难度：中档难度.
考点一 建立函数模型
方法技巧 现实生活中存在的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.
1.某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x＞0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝；若x大于或等于180，则销售量为零；当20≤x≤180时，q(x)＝a－b(a，b为实常数).
(1)求函数q(x)的表达式；
(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值.
解 (1)当20≤x≤180时，由
得
故q(x)＝
(2)设总利润f(x)＝xq(x)，
由(1)得f(x)＝
当0＜x≤20时，f(x)＝＝126000－，f(x)在(0,20]上单调递增，
所以当x＝20时，f(x)有最大值120000.
当20＜x＜180时，f(x)＝9000x－300x，f′(x)＝9000－450，
令f′(x)＝0，得x＝80.
当20＜x＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当80＜x<180时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以当x＝80时，f(x)有最大值240000.
当x≥180时，f(x)＝0.
答 当x为80时，总利润取得最大值240000元.
2.如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k.设OA＝x，OB＝y.
(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(2)求N－M的最大值及相应的x的值.
解 (1)在△AOB中，∠AOB＝120，OA＝x，OB＝y，AB＝y＋1.
由余弦定理，得(y＋1)2＝x2＋y2＋xy，即y＝.
由x＞y＞0，得x＞＞0，解得1＜x＜.
所以y＝，x∈.
(2)由(1)得M＝ky＝k，N＝4kS△AOC＝3kx，
所以N－M＝k，x∈.
记f(x)＝3x－＝4x＋2＋，x∈.
则f′(x)＝4－，令f′(x)＝0，得x＝2－.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下：
x
2－
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
10－4
单调递减
由上表可知，f(x)max＝f＝10－4.
答 当x＝2－时，N－M取最大值k(10－4).
3.如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米.现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/时.
(1)若甲、乙两管理员到达D地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；
(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米，若乙先到达D地，且乙从A地到D地的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围.
解 (1)由题意，可得AD＝12千米.
由题意可知≤，
解得≤v≤.
(2)方法一 设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t).
由于乙先到达D地，故＜2，即v＞8.
①当0＜vt≤5，即0＜t≤时，f(t)＝(6t)2＋(vt)2－26tvtcos∠DAB＝t2.
因为v2－v＋36＞0，
所以当t＝时，f(t)取最大值，
所以2≤25，解得v≥.
②当5
1)，离地面高am(1≤a≤2)的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ.
(1)若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？
(2)若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围.
解 (1)当a＝1.5时，过点C作AB的垂线，垂足为D，则BD＝0.5m，且θ＝∠ACD－∠BCD，
又观察者离墙xm，且x>1，则tan∠BCD＝，
tan∠ACD＝.
所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)
＝＝＝≤＝，
当且仅当x＝，即x＝>1时取等号.
又因为tanθ在上单调递增，
所以当观察者离墙m时，视角θ最大.
(2)由题意得tan∠BCD＝，tan∠ACD＝，
又tanθ＝，所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)
＝＝＝.
所以a2－6a＋8＝－x2＋4x，
当1≤a≤2时，0≤a2－6a＋8≤3，所以0≤－x2＋4x≤3，
即解得0≤x≤1或3≤x≤4.
又因为x>1，所以3≤x≤4，所以x的取值范围为[3,4].
7.某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.
(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；
(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3.问：P能否大于？并说明理由.
解 (1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.
(2)方法一 依题意x＝0.2a.
所以P＝＝＝＝≤＝≤＝＜.
故P不可能大于.
方法二 依题意得x＝0.2a.
所以P＝＝＝＝.
假设P＞，得ka2－20a＋25k＜0.
因为k≥3，所以Δ＝100(4－k2)＜0，所以不等式ka2－20a＋25k＜0无解，与假设矛盾，故P≤.
故P不可能大于.
8.如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域.
(1)设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；
(2)为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值.
解 (1)如图1，作OH⊥AB，设垂足为H，记OH＝d，
α＝2∠AOH，因为cos∠AOH＝，
要使α有最小值，只需要d有最大值，结合图象，
可得d≤OP＝5km，
当且仅当AB⊥OP时，dmax＝5km.
此时αmin＝2∠AOH＝2＝.
设AB把园区分成两个区域，其中较小区域的面积记为S，
由题意得S＝f(α)＝S扇形－S△AOB＝50(α－sinα)，
f′(α)＝50(1－cosα)≥0恒成立，所以f(α)为增函数，
所以Smin＝f＝50km2.
答 视角的最小值为，较小区域面积的最小值是50km2.
图1
(2)如图2，过O分别作OH⊥AB，OH1⊥CD，垂足分别是H，H1，记OH＝d1，OH1＝d2，由(1)可知d1∈[0,5]，
所以d＋d＝OP2＝25，且d＝25－d，
因为AB＝2，CD＝2，
所以AB＋CD＝2(＋)
＝2(＋).
记L(d1)＝AB＋CD＝2(＋)
可得L2(d1)＝4[175＋2]，
由d∈[0,25]可知，当d＝0或d＝25时，L2(d1)的最小值是100(7＋4)，
从而AB＋CD的最小值是(20＋10)km.
答 两条公路长度和的最小值是(20＋10)km.
图2
考点三 建立三角模型
方法技巧 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，可运用三角函数知识求解.
9.如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解 (1)由已知可设y＝40.5－40cosωt，t≥0，
由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，
所以6ω＝π，即ω＝，
所以y＝40.5－40cost(t≥0).
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米.
由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－，
所以t0＝或t0＝，
解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，
故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).
10.如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形PRQ构成，其中O为PQ的中点.现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C，D分别在线段QR，PR上，另外两个顶点A，B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB，CD间的距离为1km.设四边形ABCD的周长为ckm.
(1)若C，D分别为QR，PR的中点，求AB的长；
(2)求周长c的最大值.
解 (1)如图，连结RO并延长分别交AB，CD于M，N，连结OB.
因为C，D分别为QR，PR的中点，PQ＝2，
所以CD＝PQ＝1.
因为△PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，
所以RO＝PQ＝1，NO＝RO＝.
因为MN＝1，所以MO＝.
在Rt△BMO中，BO＝1，所以BM＝＝，
所以AB＝2BM＝.
(2)设∠BOM＝θ，0<θ<.
在Rt△BMO中，BO＝1，所以BM＝sinθ，OM＝cosθ.
因为MN＝1，所以CN＝RN＝1－ON＝OM＝cosθ，
所以BC＝AD＝，
所以c＝AB＋CD＋BC＋AD＝2[sinθ＋cosθ＋]
≤2＝2，
当且仅当sinθ＋cosθ＝，即sin2θ＝，即θ＝或时取等号.
所以当θ＝或θ＝时，周长c的最大值为2km.
11.在一个直角边长为10m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三点分别在△ABC的三条边上，且要使△PQR的面积最小.现有两种设计方案(如图所示)：
方案一：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上；
方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上.
请问应选用哪一种方案？并说明理由.
解 方案一：过点Q作QM⊥AC于点M，作QN⊥BC于点N(如图所示)，
因为△PQR为等腰直角三角形，且QP＝QR，
所以△RMQ≌△PNQ，
所以QM＝QN，从而Q为AB的中点，
则QM＝QN＝5m，
设∠RQM＝α，则RQ＝，α∈[0，45)，
所以S△PQR＝RQ2＝，
所以当cosα＝1，即α＝0时，S△PQR取得最小值为m2.
方案二：设CQ＝x，∠RQC＝β，β∈(0，90)，
在△RCQ中，RQ＝，
在△BPQ中，∠PQB＝90－β，
所以＝，即＝，
化简得＝，
所以S△PQR＝RQ2＝，
因为(sinβ＋2cosβ)2≤5，
所以S△PQR的最小值为10m2.
综上，应选用方案二.
12.某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛O附近.现派出四艘搜救船A，B，C，D，为方便联络，船A，B始终在以小岛O为圆心，100海里为半径的圆周上，船A，B，C，D构成正方形编队展开搜索，小岛O在正方形编队外(如图).设小岛O到AB的距离为x，∠OAB＝α，船D到小岛O的距离为d.
(1)请分别求出d关于x，α的函数关系式d＝g(x)，d＝f(α)，并分别写出定义域；
(2)当A，B两艘船之间的距离是多少时，搜救范围最大(即d最大)?
解 设x的单位为百海里.
(1)由∠OAB＝α，AB＝2OAcosα＝2cosα，AD＝AB＝2cosα，
在△AOD中，OD＝f(α)
＝
＝，α∈.
若小岛O到AB的距离为x，AB＝2，
OD＝g(x)＝
＝，x∈(0,1).
(2)OD2＝4cos2α＋1＋4cosαsinα
＝4＋1＋4＝2(sin2α＋cos2α)＋3
＝2sin＋3，α∈.
则2α＋∈，当2α＋＝，即α＝时，OD取得最大值，
此时AB＝2cos＝2＝(百海里).
答 当A，B间距离为100海里时，搜救范围最大.
例 (14分)如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD(点A，B在直径上，点C，D在半圆周上)，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，
(1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？
(2)若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？
审题路线图
(1)―→
―→―→
(2)―→―→
规范解答评分标准
解 (1)如图，设圆心为O，连结OC，设BC＝x，
方法一 易得AB＝2，x∈(0,30)，故所求矩形ABCD的面积为S(x)＝2x
3分
＝2≤x2＋(900－x2)＝900(cm2)
(当且仅当x2＝900－x2，即x＝15(cm)时等号成立)，此时BC＝15cm. 6分
方法二 设∠COB＝θ，θ∈，则BC＝30sinθ，OB＝30cosθ，
所以矩形ABCD的面积为S(θ)＝230sinθ30cosθ＝900sin2θ， 3分
当sin2θ＝1，即θ＝时，S(θ)max＝900(cm2).
此时BC＝15cm. 6分
(2)设圆柱的底面半径为r，体积为V，
由AB＝2＝2πr，得r＝，
所以V＝πr2x＝(900x－x3)，其中x∈(0,30). 9分
令V′＝(900－3x2)＝0，得x＝10，所以，V＝(900x－x3)在(0,10)上单调递增，
在(10，30)上单调递减，故当x＝10时，体积最大为cm3. 13分
答 (1)当截取的矩形铁皮的一边BC为15cm时，圆柱体罐子的侧面积最大.
(2)当截取的矩形铁皮的一边BC为10cm时，圆柱体罐子的体积最大.14分
构建答题模板
[第一步] 审题：阅读理解，审清题意
[第二步] 建模：引进数学符号，建立数学模型.
[第三步] 解模：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果.
[第四步] 回答：将所得结果再转译成具体问题的解答.
1.植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙.现有两种方案：
方案① 多边形为直角三角形AEB(∠AEB＝90)，如图1所示，其中AE＋EB＝30m；
方案② 多边形为等腰梯形AEFB(AB>EF)，如图2所示，其中AE＝EF＝BF＝10m.
请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案.
图1 图2
解 设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为S1，S2.
方案① 设AE＝x，则S1＝x(30－x)
≤2＝(当且仅当x＝15时，“＝”成立).
方案② 设∠BAE＝θ，则S2＝100sinθ(1＋cosθ)，θ∈.
令S＝100(2cos2θ＋cos θ－1)＝0，得cos θ＝(cos θ＝－1舍去)，因为θ∈，所以θ＝，
当θ变化时S，S2的变化情况如下：
θ
S
＋
0
－
S2
递增
极大值
递减
所以当θ＝时，(S2)max＝75.
因为＜75，所以建苗圃时用方案②，且∠BAE＝.
答 方案①②苗圃的最大面积分别为m2,75m2，建苗圃时用方案②，且∠BAE＝.
2.经市场调查，某商品每吨的价格为x(10)；月需求量为y2万吨，y2＝－x2－x＋1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.
(1)若a＝，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？
(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围.
解 (1)若a＝，由y2>y1，得－x2－x＋1>x＋2－，解得－400，得x<8，
所以g(x)在[6,8)上是增函数，在(8,14)上是减函数，
故当x＝8时，g(x)有最大值g(8)＝.
(2)设f(x)＝y1－y2＝x2＋x＋a2－1－a，
因为a>0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，
若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间[6,14)上有零点，
所以即解得0
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