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专题2.7 对数与对数函数
【考纲解读】
内 容
要 求
备注
A
B
C
函数概念与基本初等函数Ⅰ
对数函数的图象与性质
√
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
2．理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性．
【直击教材】
1．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是______(填序号)．
【答案】②
2．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的图象必过定点________．
【答案】(－1，－2)
3．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
【答案】
4．计算：
(1)log35－log315＝______；
(2) log23log32＝______.
【答案】(1)－1 (2)1
【知识清单】
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N
运算法则
loga(MN)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0
1时，y>0；当01时，y<0；当00
在区间(0，＋∞)上是增函数
在区间(0，＋∞)上是减函数
【考点深度剖析】
关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．
【重点难点突破】
1．计算：(1)4log23＝________.
(2)log225log34log59＝________.
【答案】(1)9 (2)8
2．计算100－＝______.
【答案】－20
【解析】原式＝(lg 2－2－lg 52)100
＝lg 10＝lg 10－210
＝－210＝－20.
3.lg－lg＋lg＝________.
【答案】
【解析】lg －lg＋lg
＝(5lg 2－2lg 7)－3lg 2＋(lg 5＋2lg 7)
＝(lg 2＋lg 5)＝.
[谨记通法]
对数运算的一般思路
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；
(2)将同底对数的和、差、倍合并；
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
1．函数f(x)＝lg的大致图象为________．(填序号)．
【答案】④
【解析】f(x)＝lg＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数y＝－lg|x|的图象左移1个单位得到．
由y＝－lg|x|的图象可知④正确．
2．当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是________．
【答案】
[由题悟法]
应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[即时应用]
设f(x)＝|lg x|，a，b为实数，且0＜a＜b.
(1)若a，b满足f(a)＝f(b)，求证：ab＝1；
(2)在(1)的条件下，求证：由关系式f(b)＝2f所得到的关于b的方程g(b)＝0，存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0.
证明：
g(4)＞0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3,4)内一定存在零点，即存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0.
角度一：比较对数值的大小
1．已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为________．
【答案】b>a>c
【解析】a＝log29－log2＝log23，
b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，
因为函数y＝log2x是增函数，且2>3>，
所以b>a>c.
角度二：简单对数不等式的解法
2．若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，则g(lg x)>g(1)时，x的取值范围是__________．
【答案】∪(10，＋∞)
【解析】当g(lg x)>g(1)时，f(|lg x|)>f(1)，
由f(x)为增函数得|lg x|>1，
从而lg x>1或lg x<－1，
解得010.
角度三：对数函数的综合问题
3．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)当00，a≠1，－30，a≠1，－30的条件下应为logaMα＝αloga|M| (α∈N*，且α为偶数)．
2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：
(1)务必先研究函数的定义域；
(2)注意对数底数的取值范围．
[小题纠偏]
1．函数y＝的定义域为______．
【答案】
2．函数f(x)＝log(x＋1)(2x－1)的单调递增区间是______．
【答案】
（江苏专版）2019年高考数学一轮复习 专题2.7 对数与对数函数（讲）.doc
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