中考数学 第一部分 第四章 图形的认识 第3讲 第2课时 特殊的平行四边形课件.ppt

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第2课时特殊的平行四边形 1 理解矩形 菱形 正方形的概念和性质 了解它们之间 的关系 2 探索并证明矩形 菱形 正方形的性质定理 矩形的四个角都是直角 对角线相等 菱形的四条边相等 对角线互相垂直 正方形具有矩形和菱形的一切性质 以及它们的判定定理 三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 四边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形 是菱形 四个角都是直角 互相平分 对角相等 邻角互补 垂直平分 相等 续表 续表 续表 菱形的性质与判定 例1 2015年贵州贵阳 如图4 3 21 在Rt ABC中 ACB 90 D为AB的中点 且AE CD CE AB 1 证明 四边形ADCE是菱形 2 若 B 60 BC 6 求菱形ADCE的高 计算结果保留根号 图4 3 21 思路分析 1 先证明四边形ADCE是平行四边形 再证出 一组邻边相等 即可得出结论 2 过点D作DF CE 垂足为点F 先证明 BCD是等边三角形 得出 BDC BCD 60 CD BC 6 再由平行线的性质得出 DCE BDC 60 在Rt CDF中 由三角函数求出DF即可 证明 1 AE CD CE AB 四边形ADCE是平行四边形 又 ACB 90 D是AB的中点 平行四边形ADCE是菱形 2 过点D作DF CE 垂足为点F 如图4 3 22 DF即为菱形ADCE的高 B 60 CD BD BCD是等边三角形 BDC BCD 60 CD BC 6 图4 3 22 CE AB DCE BDC 60 又 CD BC 6 试题精选 1 2015年广西钦州 如图4 3 23 要使ABCD成为菱形 图4 3 23B BA BCD AC BD 则需添加的一个条件是 A AC ADC ABC 90 答案 B 2 2014年贵州贵阳 如图4 3 24 在Rt ABC中 ACB 90 D E分别为AB AC边上的中点 连接DE 将 ADE绕点E旋转180 得到 CFE 连接AF DC 1 求证 四边形ADCF是菱形 2 若BC 8 AC 6 求四边形ABCF的周长 图4 3 24 证明 1 将 ADE绕点E旋转180 得到 CFE AE CE DE EF 四边形ADCF是平行四边形 D E分别为AB AC边上的中点 DE是 ABC的中位线 DE BC ACB 90 AED 90 DF AC 四边形ADCF是菱形 2 在Rt ABC中 BC 8 AC 6 AB 10 D是AB边上的中点 AD 5 四边形ADCF是菱形 AF FC AD 5 四边形ABCF的周长为8 10 5 5 28 名师点评 菱形的性质可以用于证明线段相等 角相等 直线平行 垂直等 常与三角形全等 勾股定理 方程相结合进行相关问题的计算与证明 矩形的性质与判定 例2 2015年四川内江 如图4 3 25 将ABCD的边AB延长至点E 使AB BE 连接DE EC BD DE交BC于点O 1 求证 ABD BEC 2 若 BOD 2 A 求证 四边形BECD是矩形 图4 3 25 思路分析 1 根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形 然后由SSS推出两三角形全等即可 2 欲证明四边形BECD是矩形 只需证明BC ED即可 证明 1 在平行四边形ABCD中 AD BC AB CD AB CD 则BE CD 又 AB BE BE DC 四边形BECD为平行四边形 BD EC 在 ABD与 BEC中 ABD BEC SSS 2 由 1 知 四边形BECD为平行四边形 则OD OE OC OB 四边形ABCD为平行四边形 A BCD 即 A OCD 又 BOD 2 A BOD OCD ODC OCD ODC OC OD OC OB OD OE 即BC ED 平行四边形BECD为矩形 试题精选 3 2015年福建南平 如图4 3 26 矩形ABCD中 AC与BD 交于点O BE AC CF BD 垂足分别为E F 求证 BE CF 图4 3 36 证明 四边形ABCD为矩形 AC BD 则BO CO BE AC于E CF BD于F BEO CFO 90 又 BOE COF BOE COF BE CF 4 2015年山东聊城 如图4 3 27 在 ABC中 AB BC BD平分 ABC 四边形ABED是平行四边形 DE交BC于点F 连接CE 求证 四边形BECD是矩形 图4 3 27 证明 AB BC BD平分 ABC BD AC AD CD 四边形ABED是平行四边形 BE AD BE AD BE CD BE CD 四边形BECD是平行四边形 BD AC BDC 90 BECD是矩形 名师点评 矩形的四个角为直角 常将矩形转化为直角三角形 矩形的对角线将矩形分成四个等腰三角形 这些思路及矩形性质是证明线段 角相等以及线段平行 垂直的重要依据 正方形的性质与判定 例3 2014年广西贵港 如图4 3 28 在正方形ABCD中 点E是对角线AC上一点 且CE CD 过点E作EF AC 交AD于点F 连接BE 1 求证 DF AE 2 当AB 2时 求BE2的值 图4 3 28 图4 3 29 DF EF AC是正方形ABCD的对角线 EAF 45 AEF是等腰直角三角形 AE EF DF AE 试题精选 5 2015年湖北鄂州 如图4 3 30 在正方形ABCD的外侧 作等边三角形ADE 连接BE CE 1 求证 BE CE 2 求 BEC的度数 图4 3 30 1 证明 四边形ABCD为正方形 AB AD CD BAD ADC 90 ADE为正三角形 AE AD DE EAD EDA 60 BAE CDE 150 在 BAE和 CDE中 BAE CDE SAS BE CE 2 解 AB AD AD AE AB AE ABE AEB 又 BAE 150 ABE AEB 15 同理可得 CED 15 BEC 60 15 2 30 解题技巧 与正方形有关的计算及推理题常与三角形的全等 勾股定理 方程 三角函数相联系 有关正方形的判定方法较多 一般在矩形 菱形的基础上 从边 角 对角线三个方向进一步分析 判断与证明 1 2015年广东 如图4 3 31 菱形ABCD的边长为6 ABC 60 则对角线AC的长是 图4 3 31 答案 6 2 2015年广东 如图4 3 32 在边长为6的正方形ABCD中 E是边CD的中点 将 ADE沿AE对折至 AFE 延长EF交边BC于点G 连接AG 求证 ABG AFG 图4 3 32 解 1 在正方形ABCD中 AD AB BC CD D B C 90 将 ADE沿AE对折至 AFE AD AF DE EF D AFE 90 AB AF B AFG 90 在Rt ABG和Rt AFG中 图4 3 23 3 2012年广东 如图4 3 33 在矩形纸片ABCD中 AB 6 BC 8 把 BCD沿对角线BD折叠 使点C落在C 处 BC 交AD于点G E F分别是C D和BD上的点 线段EF交AD于点H 把 FDE沿EF折叠 使点D落在D 处 点D 恰好与点A重合 1 求证 ABG C DG 2 求tan ABG的值 3 求EF的长 2 解 由 1 可知 ABG C DG GD GB AG GB AD 设AG x 则GB 8 x 在Rt ABG中 AB2 AG2 BG2