中考数学 第一部分 第五章 图形与变换 第2讲 图形的相似课件.ppt

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第2讲图形的相似 1 了解比例的性质 线段的比 成比例的线段 通过建筑 艺术上的实例了解黄金分割 2 通过具体实例认识图形的相似 了解相似多边形和相似 比 3 掌握两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比 例 4 了解相似三角形的性质定理 相似三角形对应线段的比 等于相似比 面积比等于相似比的平方 5 了解两个三角形相似的判定定理 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 6 了解图形的位似 知道利用位似将一个图形放大或缩小 7 会用图形的相似解决一些简单的实际问题 ad bc 续表 续表 相似比 相似比的平方 相似比 续表 相似三角形的判定与性质例1 2015年四川凉山州 如图5 2 1 O的半径为5 点P在 O外 PB交 O于A B两点 PC交 O于D C两点 1 求证 PA PB PD PC 求点O到PC的距离 图5 2 1 思路分析 1 先连接AD BC 由圆内接四边形的性质 可知 PAD PCB PDA PBC 故可得出 PAD PCB 再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论 2 由PA PB PD PC 求出CD 根据垂径定理 可得点O到PC的距离 1 证明 连接AD BC 四边形ABCD内接于 O PAD PCB PDA PBC 2 解 连接OD 作OE DC 垂足为E 如图5 2 2 图5 2 2 解得DC 8或DC 11 舍去 DE 4 OD 5 OE 3 即点O到PC的距离为3 试题精选 图5 2 3 答案 D 1 2015年甘肃酒泉 如图5 2 3 D E分别是 ABC的边AB BC上的点 DE AC 若S BDE S CDE 1 3 则S DOE S AOC的值为 2 2015年山东淄博 如图5 2 4 在 ABC中 点P是BC边上任意一点 点P与点B C不重合 平行四边形AFPE的顶点F E分别在AB AC上 已知BC 2 S ABC 1 设BP x 平行四边形AFPE的面积为y 1 求y与x的函数关系式 2 上述函数有最大值或最小值吗 若有 则当x取何值时 y有这样的值 并求出该值 若没有 请说明理由 图5 2 4 解 1 四边形AFPE是平行四边形 PF CA 解题技巧 1 相似的判定方法可类比全等三角形的判定方法 找对应边 角 时应遵循一定的对应原则 如长 大 对长 大 短 小 对短 小 或找相等的边 角 帮助确定 2 利用相似三角形的性质可以证明有关线段成比例 角相等 也可计算三角形中边的长度或角的大小 关键要注意相似三角形的对应边的确认及性质的综合运用 尤其是在运用相似图形的面积比等于相似比的平方时 不要漏了 平方 相似三角形的综合应用 例2 2015年陕西 晚饭后 小聪和小军在社区广场散步 小聪问小军 你有多高 小军一时语塞 小聪思考片刻 提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高 于是 两人在灯下沿直线NQ移动 如图5 2 5 当小聪正好站在广场的A点 距N点5块地砖长 时 其影长AD恰好为1块地砖长 当小军正好站在广场的B点 距N点9块地砖长 时 其影长BF恰好为2块地砖长 已知广场地面由边长为0 8米的正方形地砖铺成 小聪的身高AC为1 6米 MN NQ AC NQ BE NQ 请你根据以上信息 求出小军身高BE的长 结果精确到0 01米 图5 2 5 思路分析 先证明 CAD MND 利用相似三角形的性质求得MN 9 6 再证明 EFB MFN 即可解答 解 由题意 得 CAD MND 90 CDA MDN MN 9 6 又 EBF MNF 90 EFB MFN EB 1 75 小军身高约为1 75米 思想方法 运用相似三角形解决实际问题时 关键是把实际问题转化为求证相似三角形和利用相似比求线段的长 试题精选 3 2014年陕西 某天 小明和小亮来到一河边 想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度 两人在确保无安全隐患的情况下 先在河岸边选择了一点B 点B与河对岸岸边的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸 小明在点B面向树的方向站好 调整帽檐 使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处 如图5 2 6 这时小亮测得小明眼睛距离地面的距离AB 1 7米 小明站在原地转动180 后蹲下 并保持原来的观察姿态 除身体重心下移外 其他姿态均不变 这时视线通过帽檐落在了 DB延长线上的点E处 此时小亮测得BE 9 6米 小明的眼睛距地面的距离CB 1 2米 根据以上测量过程及测量数据 请你求出河宽BD是多少 米 图5 2 6 解 由题意知 BAD BCE ABD ABE 90 BAD BCE 河流的宽BD是13 6米 图形的位似4 2015年湖北十堰 在平面直角坐标系中 已知点A 4 2 则点A的对应点A 的坐标是 A 2 1 B 8 4 C 8 4 或 8 4 D 2 1 或 2 1 答案 D 5 2015年福建漳州 如图5 2 7 在10 10的正方形网格中 点A B C D均在格点上 以点A为位似中心画四边形AB C D 使它与四边形ABCD位似 且相似比为2 1 在图中画出四边形AB C D 2 填空 AC D 是 三角形 图5 2 7 解 1 如图D71 图D71 2 等腰直角 AC 2 42 82 16 64 80 AD 2 62 22 36 4 40 C D 2 62 22 36 4 40 AD C D AD 2 C D 2 AC 2 AC D 是等腰直角三角形 易错陷阱 在平面直角坐标系中 如果位似变换是以原点为位似中心 相似比为k 那么位似图形对应点的坐标比等于 k 即几何图形的位似图形可能有两个 解题技巧 画位似图形的一般步骤为 确定位似中心 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点 根据相似比 确定能代表所作的位似图形的关键点 顺次连接上述各点 得到放大或缩小的图形 名师点评 位似图形一定是相似图形 但相似图形不一定是位似图形 位似图形是相似图形的特例 位似图形的性质也就是相似图形的性质 相似图形的对应边 对应高 对应周长比都等于相似比 而面积的比等于相似比的平方 到的图形是 图5 2 8 A B C D 答案 A 2 2015年广东 若两个相似三角形的周长比为2 3 则它 们的面积比是 答案 4 9 3 2013年广东 如图5 2 9 在矩形ABCD中 以对角线BD为一边构造另一个矩形BDEF 使得另一边EF过原矩形的顶点C 1 设Rt CBD的面积为S1 Rt BFC的面积为S2 Rt DCE的面积为S3 则S1 S2 S3 用 填空 2 写出图中的三对相似三角形 并选择其中一对进行证明 图5 2 9 1 2 BCD CFB DEC 证明 BCD DEC 证明 EDC BDC 90 CBD BDC 90 EDC CBD 又 BCD DEC 90 BCD DEC 4 2014年广东 如图5 2 10 在 ABC中 AB AC AD BC于点D BC 10cm AD 8cm 点P从点B出发 在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动 与此同时 垂直于AD的直线m从底边BC出发 以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移 分别交AB AC AD于E F H 当点P到达点C时 点P与直线m同时停止运动 设运动时间为t秒 t 0 1 当t 2时 连接DE DF 求证 四边形AEDF为菱形 2 在整个运动过程中 所形成的 PEF的面积存在最大值 当 PEF的面积最大时 求线段BP的长 3 是否存在某一时刻t 使 PEF为直角三角形 若存在 请求出此时刻t的值 若不存在 请说明理由 图5 2 10 1 证明 当t 2时 DH AH 4 则H为AD的中点 如图D72 图D72 又 EF AD EF为AD的垂直平分线 AE DE AF DF AB AC AD BC于点D AD BC B C EF BC AEF B AFE C AEF AFE AE AF AE AF DE DF 即四边形AEDF为菱形 2 解 如图D73 由 1 知 EF BC AEF ABC 图D73 当t 2秒时 S PEF存在最大值 最大值为10cm2 此时BP 3t 6cm 3 解 存在 理由如下 若点E为直角顶点 如答图D74 此时PE AD PE DH 2t BP 3t 此种情形不存在 图D74 若点F为直角顶点 如答图D75 此时PF AD PF DH 2t BP 3t CP 10 3t 图D75 若点P为直角顶点 如答图D76 图D76过点E作EM BC于点M 过点F作FN BC于点N 则EM FN DH 2t EM FN AD