通化市梅河口市八级下第一次月考数学试卷含解析.doc

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2015-2016学年吉林省通化市梅河口市水道中学八年级（下）第一次月考数学试卷 　 一、选择题 1．若等式□=2成立，则□内的运算符号为（　　） A．+ B．﹣ C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．的整数部分是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．若一直角三角形的两边长分别为2和4，则第三边长为（　　） A．2 B．2 C．2或2 D．6 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 6．如图，在4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，则△ABC的三边长a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b 　 二、填空题 7．计算：（）2=　　　　　　． 8．计算： =　　　　　　． 9．若|a﹣b|+=0，则a=　　　　　　． 10．化简：﹣ =　　　　　　． 11．若y=++3，则yx=　　　　　　． 12．如图，分别以直角三角形的边长为边向外作正方形P、Q、R，若正方形P、Q的面积分别是4、1，则正方形R的边长是　　　　　　． 13．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，则AD=　　　　　　cm． 14．如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC，若BD=1，则AD的长为　　　　　　． 　 三、解答题 15．计算： +． 16．计算：﹣+． 17．计算：（2﹣）（2+） 18．在Rt△ABC中，∠C=90，若BC=15，AB=17，求AC的长． 　 四、解答题 19．如图，在44的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、4、5； （2）在图2中以格点为顶点画△DEF，使△DEF的三边长分别为、、． 20．如图，55网格的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的顶点A、B、C、D均在格点上，连接BD． （1）四边形ABCD的周长是　　　　　　，面积是　　　　　　； （2）求△BCD的BC边上的高． 21．已知直角三角形斜边长为（2+）cm，一直角边长为（+2）cm，求这个直角三角形的面积． 22．如图，在Rt△ABC中，∠A=90，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE．求证：BE2=AC2+AE2． 　 五、解答题 23．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90，AD=1.5，AB=2，连接BD． （1）求BD的长度； （2）若BD⊥BC，CD=6.5，求四边形ABCD的面积． 24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E．若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的长； （2）求△BDE的周长． 　 六、解答题 25．如图，长方体的长BE=15cm，宽AB=10cm，高AD=20cm，点M在CH上，且CM=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？ 26．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度． （1）当t=2时，CD=　　　　　　，AD=　　　　　　； （2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由； （3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由． 　 2015-2016学年吉林省通化市梅河口市水道中学八年级（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．若等式□=2成立，则□内的运算符号为（　　） A．+ B．﹣ C． D． 【考点】实数的运算． 【专题】计算题；实数． 【分析】利用二次根式的运算法则判断即可． 【解答】解： +=2， 则□内的运算符号为+． 故选A 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【考点】最简二次根式． 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误； C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误； D、被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 　 3．的整数部分是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】估算无理数的大小． 【分析】根据3＜＜4，即可解答． 【解答】解：∵3＜＜4， ∴的整数部分是3， 故选：A． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的大小． 　 4．若一直角三角形的两边长分别为2和4，则第三边长为（　　） A．2 B．2 C．2或2 D．6 【考点】勾股定理． 【专题】分类讨论． 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【解答】解：设第三边为x， （1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得： 22+42=x2， ∴x=2； （2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得： 22+x2=42， ∴x=2； ∴第三边的长为2或2． 故选C． 【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 　 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 【考点】勾股定理． 【分析】利用勾股定理易求AC的长，进而可求出这个直角三角形的面积． 【解答】解： ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，AB=，BC=2， ∴AC==3， ∴这个直角三角形的面积=ACBC=3， 故选A． 【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是要熟知直角三角形的性质及其面积公式． 　 6．如图，在4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，则△ABC的三边长a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b 【考点】勾股定理；实数大小比较． 【专题】网格型． 【分析】首先利用勾股定理求出a，b，c的长，再比较大小即可． 【解答】解： 由勾股定理可得：a==，b==5， ∵c=4， ∴c＜a＜b， 故选D． 【点评】本题考查了勾股定理的运用以及比较实数的大小，熟记勾股定理是解题的关键． 　 二、填空题 7．计算：（）2=　5　． 【考点】二次根式的乘除法． 【分析】直接利用二次根式的性质求出答案． 【解答】解：（）2=5． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键． 　 8．计算： =　　． 【考点】二次根式的乘除法． 【分析】首先化简二次根式，进而利用二次根式乘法运算法则求出答案． 【解答】解：原式=2=． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 　 9．若|a﹣b|+=0，则a=　1　． 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值． 【分析】根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值即可． 【解答】解：由题意得，a﹣b=0，b﹣1=0， 解得，a=1，b=1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键． 　 10．化简：﹣ =　﹣　． 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【解答】解：原式=﹣． 故答案为：﹣． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 　 11．若y=++3，则yx=　9　． 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】依据二次根式有意义的条件可求得x=2，从而可求得y的值，然后可求得yx的值． 【解答】解：∵y=++3有意义， ∴x=2，y=3． ∴yx=32=9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，由二次根式有意义求得x、y的值是解题的关键． 　 12．如图，分别以直角三角形的边长为边向外作正方形P、Q、R，若正方形P、Q的面积分别是4、1，则正方形R的边长是　　． 【考点】勾股定理． 【分析】先根据勾股定理求出R的面积，由正方形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵正方形P、Q的面积分别是4、1， ∴正方形R的面积=4﹣1=3， ∴正方形R的边长=． 故答案为：． 【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 　 13．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，则AD=　8　cm． 【考点】勾股定理． 【分析】先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再由勾股定理即可得出结论． 【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D， ∴BD=BC=6cm． 在Rt△ABD中， ∵AB=10cm，BD=6cm， ∴AD===8cm． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 　 14．如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC，若BD=1，则AD的长为　　． 【考点】剪纸问题． 【分析】在直角三角形ABD中，根据锐角三角函数即可求得AD的长． 【解答】解：在直角三角形ABD中，∵BD=1，∠ADB=90，∠BAD=30， ∴AD=BDcot∠BAD=1=． 故AD的长为． 故答案为：． 【点评】考查了剪纸问题，关键是得到三角形ABD是直角三角形，以及熟练掌握锐角三角函数． 　 三、解答题 15．计算： +． 【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可． 【解答】解：原式=2+ =2+ =3． 【点评】本题考查了二次根式的混合计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 　 16．计算：﹣+． 【考点】二次根式的加减法． 【分析】首先化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案． 【解答】解：原式=﹣4+3 =． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 　 17．计算：（2﹣）（2+） 【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】利用平方差公式计算． 【解答】解：原式=（2）2﹣（）2 =12﹣2 =10． 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 　 18．在Rt△ABC中，∠C=90，若BC=15，AB=17，求AC的长． 【考点】勾股定理． 【分析】根据题意直接利用勾股定理求出即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90，BC=15，AB=17， ∴AC===8． 【点评】此题主要考查了勾股定理，正确画出图形是解题关键． 　 四、解答题 19．如图，在44的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、4、5； （2）在图2中以格点为顶点画△DEF，使△DEF的三边长分别为、、． 【考点】勾股定理． 【专题】作图题． 【分析】（1）、（2）根据勾股定理画出图形即可． 【解答】解：（1）如图1所示； （2）如图2所示． 【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 　 20．如图，55网格的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的顶点A、B、C、D均在格点上，连接BD． （1）四边形ABCD的周长是　2+2　，面积是　8　； （2）求△BCD的BC边上的高． 【考点】勾股定理． 【专题】网格型． 【分析】（1）根据勾股定理求出四边形各边的长，进而可得出其周长；利用正方形的面积减去各顶点上三角形的面积即可得出四边形的面积； （2）过点D作DE⊥BC于点E，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵由图可知，AB==，BC==，CD==，AD==， ∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2+2； S四边形ABCD=44﹣21﹣21﹣23﹣23=16﹣1﹣1﹣3﹣3=8． 故答案为：2+2，8； （2）过点D作DE⊥BC于点E， ∵BC=， ∴BCDE=42，即DE=42，解得DE=． 【点评】本题考查的是勾股定理．熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 　 21．已知直角三角形斜边长为（2+）cm，一直角边长为（+2）cm，求这个直角三角形的面积． 【考点】二次根式的应用． 【分析】首先利用勾股定理得出直角边的长，再利用直角三角形面积求法得出答案． 【解答】解：在直角三角形中，根据勾股定理： 另一条直角边长为： =3（cm）． 故直角三角形的面积为： S=3（）=（cm2） 答：这个直角三角形的面积为（）cm2． 【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 　 22．如图，在Rt△ABC中，∠A=90，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE．求证：BE2=AC2+AE2． 【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质． 【专题】证明题． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EB=EC，再根据条件CE2=AC2+AE2可得BE2=AC2+AE2． 【解答】证明：∵如图，边BC的垂直平分线DE交AB于点E， ∴CE=BE． ∵在Rt△ABC中，∠A=90， ∴由勾股定理得到：CE2=AC2+AE2 ∴BE2=AC2+AE2． 【点评】此题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 　 五、解答题 23．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90，AD=1.5，AB=2，连接BD． （1）求BD的长度； （2）若BD⊥BC，CD=6.5，求四边形ABCD的面积． 【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理． 【分析】（1）在直角△ABD中，利用勾股定理来求线段BD的长度即可； （2）根据勾股定理求得直角边BC的长度，然后根据图形得到四边形ABCD的面积=2个直角三角形的面积和． 【解答】解：（1）∵如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90，AD=1.5，AB=2， ∴由勾股定理，得BD===2.5． （2）∵BD⊥BC， ∴∠DBC=90， ∴BC==6， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=ABAD+BCBD=9． 【点评】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，把四边形的面积分解成两个直角三角形的面积来求是解本题的关键所在． 　 24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E．若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的长； （2）求△BDE的周长． 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD； （2）利用勾股定理列式求出AB的长度，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，然后求出BE，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵∠C=90，AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴DE=CD， ∵CD=3， ∴DE=3； （2）∵∠C=90，AC=6，BC=8， ∴AB===10， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE=AC=6， ∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4， ∴△BDE的周长=BD+DE+BE =BD+CD+BE =BC+BE =8+4 =12． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）三角形周长的转换． 　 六、解答题 25．如图，长方体的长BE=15cm，宽AB=10cm，高AD=20cm，点M在CH上，且CM=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？ 【考点】平面展开-最短路径问题． 【专题】分类讨论． 【分析】此题分两种情况比较最短距离：第一种是，先爬到DC棱的中点，再到M，此时转换到一个平面内，所走的路程是直角边为10cm、25cm的直角三角形的斜边的长； 第二种是，先抓到BC棱的中点，再到M，此时转换到一个平面人，所走的路程是直角边为15cm，20cm的直角三角形的斜边的长；再根据勾股定理求出AM的长，比较出其大小即可． 【解答】解：分两种情况比较最短距离： 如图1所示， AM==5 如图2所示， AM==25． ∵5＞25， ∴第二种短些，此时最短距离为25cm． 答：需要爬行的最短距离是25cm． 【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出图形，再根据勾股定理求解是解答此题的关键． 　 26．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度． （1）当t=2时，CD=　2　，AD=　8　； （2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由； （3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由． 【考点】勾股定理；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理． 【专题】动点型． 【分析】（1）根据CD=速度时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC﹣CD代入数据进行计算即可得解； （2）分①∠CDB=90时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程速度计算；②∠CBD=90时，点D和点A重合，然后根据时间=路程速度计算即可得解； （3）分①CD=BC时，CD=6；②BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答． 【解答】解：（1）t=2时，CD=21=2， ∵∠ABC=90，AB=8，BC=6， ∴AC===10， AD=AC﹣CD=10﹣2=8； 故答案是：2；8． （2）①∠CDB=90时，S△ABC=ACBD=ABBC， 即10BD=86， 解得BD=4.8， ∴CD===3.6， t=3.61=3.6秒； ②∠CBD=90时，点D和点A重合， t=101=10秒， 综上所述，t=3.6或10秒； 故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒； （3）①CD=BC时，CD=6，t=61=6； ②BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F， 则CF=3.6， CD=2CF=3.62=7.2， ∴t=7.21=7.2， 综上所述，t=6秒或7.2秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．