《通信原理》第6版习题课后答桉.doc

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1-1、 设英文字母 E 出现的概率为 0.105 ，x 出现的概率为 0.002 。试求 E 和 x 的信息量。 解： P(E) = 0.105 P( x) = 0.002 I (E ) = − log 2 P(E ) = − log 2 0.105 = 3.25 bit I ( x) = − log 2 P( x) = − log 2 0.002 = 8.97bit 1-2、 信息源的符号集由 A，B，C，D 和 E 组成，设每一符号独立出 现，其出现的概率为1 4,1 8,1 8, 3 16 和 5 16 。试求该信息源符号的 平均信息量。 解： H = −∑ P( xi ) log 2 P( xi ) = − 1 log  1 − 1 log  1 − 1 log  1 − 5 log  5 = 2.23bit 4 2 4 8 2 8 8 2 8 16 2 16 符号 1-3、 设有四个消息 A、B、C、D 分别以概率1 4,1 8,1 8,1 2 传送，每一 消息的出现是相互独立的。试计算其平均信息量。 解： H = −∑ P( xi ) log 2 P( xi ) = − 1 4  log 2  1 − 1 4 8  log 2  1 − 1 8 8  log 2  1 − 1 8 2  1 log 2 2  = 1.75 bit 符号 1-4、 一个由字母 A，B，C，D 组成的字。对于传输的每一个字母用 二进制脉冲编码，00 代替 A，01 代替 B，10 代替 C，11 代替 D。每个脉冲宽度为 5 ms 。 （1） 不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速 率。 （2） 若每个字母出现的概率为 P  = 1 , P  = 1 , P  = 1 , P  = 3 ，试 A 5 B 4 C 计算传输的平均信息速率。 解：首先计算平均信息量。 4 D 10 （1） H = −∑ P( xi ) log 2 P( xi ) = 4 (− 1 ) log 4  1 = 2 bit 2 4 字母 平均信息速率=2 （ bit 字母 ）  （ ms  =200 ）  bit s （2） H = −∑ P( xi ) log 2 P( xi ) 2 5 字母 = − 1 log 1 − 1 log 1 − 1 log 1 − 3 log 3 = 1.985 bit 5 2 5 4 2 4 4 2 4 10 2 10 字母 平均信息速率=1.985 （ bit 字母 ）  （ ms  =198.5 ） 2 5 字母 bit s 1-5、 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续 3 单 位的电流脉冲表示，点用持续 1 单位的电流脉冲表示，且划出 现的概率是点出现的概率的1 3 ： （1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。 解：令点出现的概率为 P( A) ，划出现的概率为 P(B) P( A) + P(B) = 1, 1 P( A) = P(B) 3  ⇒ P( A) = 3 4  P(B) = 1 4 （1） I ( A) = − log 2 P( A) = 0.415bit （2） I (B) = − log 2 P(B) = 2bit H = −∑ P( xi ) log 2 P( xi ) = − 3 log  3 − 1 log  1 = 0.811bit 4 2 4 4 2 4 1-6、 设一信息源的输出由 128 个不同符号组成。其中 16 个出现的概 率为1 32 , 其余 112 个出现的概率为1 224 。信息源每秒发出 1000 个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速 率。 解： H = −∑ P( xi ) log 2 P( xi ) =16 (−  1 ) log 32  1 2 32  + 112 (−  1 224  ) log 2  ( 1 224  ) = 6.4 bit 符号 平均信息速率为 6.4 1000 = 6400 bit s 。 1-7、 对于二电平数字信号，每秒钟传输 300 个码元，问此传码率 RB 等于多少？若数字信号 0 和 1 出现是独立等概的，那么传信率 Rb 等于多少？ 解： RB = 300B  Rb = 300 bit s 1-8、 若题 1-2 中信息源以 1000B 速率传送信息，则传送 1 小时的信 息量为多少？传送 1 小时可能达到的最大信息量为多少？ 解：传送 1 小时的信息量 2.23 1000 3600 = 8.028Mbit 传送 1 小时可能达到的最大信息量 先求出最大的熵： H  max  = − log  1 = 2.32 bit 2 5 符号 则 传 送 1 小 时 可 能 达 到 的 最 大 信 息 量 2.32 1000 3600 = 8.352Mbit 1-9、 如果二进独立等概信号，码元宽度为 0.5ms ，求 RB 和 Rb ；有四进 信号，码元宽度为 0.5ms ，求传码率 RB 和独立等概时的传信率 Rb 。 解：二进独立等概信号： R = 1 = 2000B ， R = 2000 bit B 0.5 10 −3 b s 四 进 独 立 等 概 信 号 ： Rb = 2 2000 = 4000 bit s 。 小结： 记住各个量的单位： R = 1 = 2000B ， B 0.5 10 −3 信息量： bit I = − log 2 P( x) 信 源 符 号 的 平 均 信 息 量 （ 熵 ）： H = −∑ P( xi ) log 2 P( xi ) bit 符号 平均信息速率： bit s =（ bit 符号 ）  （s 符号） 传码率： RB 传信率： Rb （B） bit s 2-1 、设随机过程 (t ) 可表示 成 (t ) = 2 cos(2t + ) ，式中 是一个离散随 变量，且 P( = 0) = 1 2 、 P( = 2) = 1 2 ，试求 E[ (1)] 及 R (0,1) 。 解： E[ (1)] = 1 2 cos(2 + 0) + 1 2 cos(2 +  2) = 1 ； 2 2 R (0,1) = E[ (0) (1)] = 1 2 cos(0)2 cos(2 + 0) + 1 cos(  2)2 cos(2 +  2) = 2 。 2 2 2-2、设 Z (t ) = X 1 cos w0 t − X 2 sin w0 t 是一随机过程，若 X 1 和 X 2 是彼此独立且具有均值 为 0、方差为 2 的正态随机变量，试求： （1） E[Z (t)] 、 E[Z 2 (t)] ； （2） Z (t ) 的一维分布密度函数 f ( z) ； （3） B(t1 , t2 ) 和 R(t1 , t2 ) 。 解：（1） E[Z (t )] = E[ X 1 cos w0 t − X 2 sin w0 t] = cos w0 tE[ X 1 ] − sin w0 tE[ X 2 ] = 0 因为 X 1 和 X 2 是彼此独立的正态随机变量， X 1 和 X 2 是彼此互不相关，所以 E[ X 1 X 2 ] = 0 E[Z 2 (t )] = E[ X 2 cos 2 w t + X 2 sin 2 w t ] = cos 2 w tE[ X 2 ] + sin 2 w tE[ X 2 ] 1 0 2 0 0 1 0 2 1 1 1 1 2 2 又 E[ X ] = 0 ； D[ X ] = E[ X 2 ] − E [ X 1 ] = ⇒ E[ X 2 ] = 2 2 同理 E[ X 2 ] = 2 代入可得 E[Z 2 (t )] = 2 （2）由 E[Z (t)] = 0 ； E[Z 2 (t )] = 2 又因为 Z (t ) 是高斯分布 可得 D[Z (t )] = 2 2 f [ z(t)] = 1 exp(− z ) 2 2 2 （3） B(t1 , t2 ) = R(t1 , t 2 ) − E[Z (t1 )]E[Z (t 2 )] = R(t1 , t 2 ) = E[( X 1 cos w0 t1 − X 2 sin w0 t1 )( X 1 cos w0 t 2 − X 2 sin w0 t2 )] 2 2 = E[ X 1 cos(w0 t1 ) cos(w0 t2 ) + X 2 sin(w0 t1 ) sin(w0 t 2 )] 2 = 2 cos w0 (t1 − t 2 ) = cos w0 令 t1 = t 2 + 2-3、求乘积 Z (t ) = X (t )Y (t) 的自相关函数。已知 X (t) 与 Y (t) 是统计独立的平稳随机 过程，且它们的自相关函数分别为 Rx ( ) 、 R y ( ) 。 解：因 X (t) 与 Y (t) 是统计独立，故 E[ XY ] = E[ X ]E[Y ] RZ ( ) = E[Z (t )Z (t + )] = E[ X (t )Y (t ) X (t + )Y (t + )] = E[ X (t) X (t + )]E[Y (t )Y (t + )] = RX ( )RY ( ) 2-4、若随机过程 Z (t ) = m(t ) cos(w0 t + ) ，其中 m(t ) 是宽平稳随机过程，且自相关函 1 + , − 1 < < 0  数 Rm ( ) 为 R m ( ) = 1 − ,0 ≤ < 1   0 , 其它 是服从均匀分布的随机变量，它与 m(t ) 彼此统计独立。 （1） 证明 Z (t ) 是宽平稳的； （2） 绘出自相关函数 RZ ( ) 的波形； （3） 求功率谱密度 PZ (w) 及功率 S 。 解：（1） Z (t ) 是宽平稳的 ⇔ E[Z (t)] 为常数； RZ (t1 , t 2 ) = RZ (t1 − t 2 ) E[(Z (t )] = E[m(t) cos(w0 t + )] = E[m(t)]E[cos(w0 t + )] = [ 1 2 2 ∫ cos(w0 t + )d ]E[Z (t )] = 0 0 RZ (t1 , t 2 ) = E[Z (t1 )Z (t 2 )] = E[m(t1 ) cos(w0 t1 + )m(t 2 ) cos(w0 t 2 + )] = E[m(t1 )m(t 2 )]E[cos(w0 t1 + ) cos(w0 t2 + )] E[m(t1 )m(t 2 )] = Rm (t 2 − t1 ) 只与 t 2 − t1 = 有关； 令 t 2 = t1 + E{cos(w0 t1 + ) cos[w0 (t1 + ) + ]} = E{cos(w0 t1 + )[cos(w0 t1 + ) cos w0 − sin(w0 t1 + ) sin w0 ]} 2 = cos w0 ⋅ E[cos (w0 t1 + )] − sin w0 ⋅ E[cos(w0 t1 + ) sin(w0 t1 + )] = cos(w ) ⋅ E{1 [1 + cos 2(w t  + )]} − 0 0 2 0 1 1 = cos(w ) 2 0 1 所以 （2）波形略； 1 RZ (t1 , t 2 ) = cos(w0 ) ⋅ Rm ( ) 只与 有关，证毕。 2 1  2 (1 + ) cos(w0 ),−1 < < 0  1 （3） RZ ( ) = cos(w0 ) ⋅ Rm ( ) =  2  2 (1 − ) cos(w0 ),0 ≤ < 1 0, 其它   PZ (w) ⇔ RZ ( ) 而 RZ ( ) 的波形为 Rm ( ) t -1 1 可以对 Rm ( ) 求两次导数，再利用付氏变换的性质求出 Rm ( ) 的付氏变换。 R ( ) = ( + 1) − 2 ( ) + ( − 1) ⇒ P (w) = sin(w 2) = Sa 2 ( w ) m m w 2 2 ⇒ P (w) = 1 [Sa 2 ( w + w0 ) + Sa 2 ( w − w0 )] Z 4 2 2 功率 S ： S = RZ (0) =1 2 2-5、已知噪生 n(t ) 的自相关函数 Rn （1） 求 Pn (w) 和 S ； ( ) = a exp(−a ) ， a 为常数： 2 （2） 绘出 Rn ( ) 与 Pn (w) 的波形。 2a 解：（1）因为 exp(−a t ) ⇔  w2 + a 2 所以 R  2 ( ) = a exp(−a ) ⇔ P (w) = a n 2 S = R(0) = a 2 n w 2 + a 2 （3） 略 2-6、 (t ) 是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间 （-1，1）上，该自相关函数 R( ) = 1 − 。试求 (t ) 的功率谱密度 P (w) 。 解：见第 4 题  R( ) = 1 − ⇔ Sa 2 ( w ) 2 因为 T (t ) =  ∞ ∑ (t − 2n) n=−∞  所以 (t ) = R( ) ∗ T (t ) 据付氏变换的性质可得 P (w) = PR (w)F (w) ∞ ∞ 而 T (t ) = ∑ (t − 2n) ⇔ ∑ (w − n ) n=−∞ 故 n=−∞ ∞ 2 2 w  ∑ 2 ∞ w − n P (w) = PR (w)F (w) = Sa ( ) ⋅ ∑ (w − n ) = n =−∞  n =−∞  (w − n )Sa ( ) 2 2-7、将一个均值为 0，功率谱密度为 n0 为 B 的理想带通滤波器上，如图 2 的高斯白噪声加到一个中心角频率为 wc 、带宽 2 B -wc wc w （1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。 解：（1） P  (w) = 2 n H (w) P (w) = 0 H (w) O i 2 因为 G2  (w) ⇔ Sa(w0 ) ，故 G  (w) ⇔ BSa(B ) w0 2 B w 0 又 H (w) = G2 B (w) ∗ [ (w + wc ) + (w − wc )] (w + w ) + (w − w ) ⇔ 1 cos(w ) c 由 付氏变换的性质 c f (t ) ⋅ f  (t) ⇔ c 1 F (w) ∗ F (w) 1 2 2 1 2 可得 P (w) = n0 H (w) = n0 G  (w) ∗ [ (w + w ) + (w − w )] O 2 2 2 B c c ⇔ R( ) = n0 BSa(B ) cos(wc ) O O 0 2 （2） E[ (t )] = 0 ； R(0) = E[ 2 (t )] = Bn ； R(∞) = E [ O (t )] = 0 所以 2 = R(0) − R(∞) = Bn0 又因为输出噪声分布为高斯分布 可得输出噪声分布函数为  f [ o  (t )] =  2 1 exp(− t ) 。 2Bn0 2Bn0 2-8、设 RC 低通滤波器如图所示，求当输入均值为 0，功率谱密度为 n0 2 的白噪声时，输 出过程的功率谱密度和自相关函数。 1 解： H (w) = R + jwC = 1 jwC 1 jwRC + 1 （1） P  2 n 1 (w) = P (w) H (w) = 0 ⋅ O （2）因为 i exp(−a ) ⇔ 2 1 + (wRC ) 2 2a 所以 PO  (w) = n0 ⋅ 2 w2 + a 2 1 1 + (wRC ) 2  ⇔ RO  ( ) =  n0 4RC  exp(− ) RC 2-9、将均值为 0，功率谱密度为 n0 2 的高斯白噪声加到低通滤波器的输入端， （1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差。 解： H (w) = R R + jwL （1） P 2 n R 2 (w) = P (w) H (w) = 0 ⋅ ⇔ R ( ) = n0 R exp(− R ) O i 2 R 2 + (wL) 2 O 4L L （2） E[no (t )] = 0 ； 2 = R(0) − R(∞) = R(0) = n0 R 4L 2-10、设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为 Tb ，脉冲幅度取 1 的 概率相等。现假设任一间隔 Tb 内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程 具有宽平稳性，试证：   0,   > Tb  （1） 自相关函数 R ( ) = 1 − Tb , ≤ Tb （2） 功率谱密度 P (w) = T [Sa(fT )]2 。 b b 解： (1) R ( ) = E[ (t) (t + )] ①当 > Tb 时， (t ) 与 (t + ) 无关，故 R ( ) = 0 ②当 ≤ Tb 时，因脉冲幅度取 1 的概率相等，所以在 2 Tb 内，该波形取 -1 -1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为1 4 。 （A） 波形取-1-1、11 时， 1 1 Tb 在图示的一个间隔 Tb 内， R ( ) = E[ (t) (t + )] = 1 1 = 1 4 4 （B） 波形取-1 1、1 -1 时， 1 Tb -1 在图示的一个间隔 Tb 内， R ( ) = E[ (t) (t + )] 1 Tb − = ( − ) 4 当 ≤ Tb 时， R ( ) = E[ (t) (t + )] Tb Tb = 2 1 + 2 1 (Tb − − ) 4 4 Tb Tb  0,   = 1 − Tb > Tb  故 R ( ) = 1 − Tb , ≤ Tb （2） A  ⇔ A Sa 2 ( w ) 2 - 其中 2 2 4 A 为时域波形的面积。 2 所以 R ( ) ⇔ P (w) = T Sa 2 ( wTb ) 。 b 2 2-11、图示为单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程 (t ) 是平稳的，求 1 (t ) 与 2 (t ) 的互功率谱密度的表示式。（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对） ∞ 解： 1 (t ) = ∫ (t − )h1 ( )d 0  ∞ 2 (t ) = ∫ (t − )h2 ( )d 0 R12 (t1 , t1 + ) = E[1 (t1 ) 2 (t1 + )] ∞ = E[ ∫ (t1 − )h1 ( )d 0 ∞ ∫ (t1 + − )h2 ( )d ] 0 ∞ ∞ = ∫∫ h1 ( )h2 ( )R ( + − )dd 0 0 所以 P ∞ (w) = R  ( )e − jw d = ∞ ∞ ∞ d d  [h ( )h  ( )R  1 2 ( + − )e − jw d 12 ∫ 12 ∫ ∫ ∫ 1 2 −∞ −∞ 0 0 令 = + − ∞ ∞ ∞ P12 (w) = ∫ h( )e jw d ∫ h( )e − jw d ∫[R (  )e − jw d  = H ∗ (w)H (w)P (w) 0 0 −∞ 2-12、若 (t ) 是平稳随机过程，自相关函数为 R ( ) ，试求它通过图示系统后的自相关 函数及功率谱密度。 解： h(t ) = (t) + (t − T ) ⇔ H (w) = 1 + e − jwT 1 H (w) = (2 + 2 cos wT ) 2 2 PO (w) = H (w) P (w) = 2(1 + cos wT )P (w) P (w) = 2P (w) + 2 cos wT ⋅ P (w) = 2P (w) + (e − jwT + e jwT )P (w) O ⇔ 2R ( ) + R ( − T ) + R ( + T ) 2-13、若通过题 2-8 的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为 n0 2 的高斯白噪声， 试求输出过程的一维概率密度函数。 解： E[no (t )] = 0 ； P (w) = n0 ⋅ O 2 1 1 + (wRC ) 2  ⇔ RO  ( ) = n0 4RC  exp(− ) RC 2 ⇒ 2 = n0 4Rc 又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为 f ( x) = 1 exp(− x ) 2 2 2 2-14、一噪声的功率密度函数如图，试求其自相关函数为 KSa(Ω 解：见题 2-7 的解法； K 2) cos(w0 ) 。 Pn (w) = GΩ (w) ∗ [ (w + w0 ) + (w − w0 )] Ω (w + w  ) + (w − w ) ⇔ 1 cos(w ) 0 由 付氏变换的性质 0 f (t ) ⋅ f  (t) ⇔ 0 1 F (w) ∗ F (w) 1 2 2 1 2 K 可得 Pn (w) = GΩ (w) ∗ [ (w + w0 ) + (w − w0 )] Ω 2-15、略  ⇔ R( ) = KSa(Ω  2) cos(w0 ) 3-1、设一恒参信道的幅频特性和相频特性分别为 H (w) = K 0 ，ϕ (w) = −wt d ，其中，K 0 , t d 都是常数。试确定信号 s(t ) 通过该信道后输出信号的时域表示式，并讨论之。 解： H (w) = K − jwtd e 0 SO (w) = H (w)S (w) = K 0 e − jwt d S (w) ⇔ so (t) = K 0 s(t − td ) 确定信号 s(t ) 通过该信道后，没有失真，只是信号发生了延时。 3-2、设某恒参信道的幅频特性为 H (w) = [1 + cos T ]e − jwtd ，其中， t 都是常数。试确定 0 d 信号 s(t ) 通过该信道后输出信号的时域表示式，并讨论之。 解： H ( w ) = [1 + cos T ]e − jwt d S (w) = H (w)S (w) = [1 + cos T  t ]e − jw d S (w) = [e − jwtd  + 1 e − jw(T0 +td ) + 1 e − jw(td −T0 ) ]S (w) O ⇔ s(t − t 0 ) + 1 s(t − t 2 − T ) + 1 s(t − t 2 + T ) d 2 d 0 2 d 0 信号经过三条延时不同的路径传播，同时会产生频率选择性衰落。见教材第 50 页。 3-3、设某恒参信道可用下图所示的线形二端对网络来等效。试求它的传递函数，并说明信 号通过该信道时会产生哪些失真？ 解： H (w) = H (w) =  R R + 1 jwc jwRc 1 + jwRc  = jwRc 1 + jwRc = H (w) e jϕ ( w) 其中 H (w) = 1 1 + 1 (wRc) 2 ϕ (w) = π 2 − arctg (wRc) 则群迟延τ (w) = dϕ (w) dw = Rc 1 + (wRc) 2 可见，信号通过该信道时会频率失真和群迟延畸变。 3-4、今有两个恒参信道,其等效模型分别如图 P3-2(a)、(b)所示，试求这两个信道的群迟延特 性，并画出它们的群迟延曲线，同时说明信号通过它们时有无群迟延失真？ 解：图 A  H (w) =  R2 R1 + R2  = H (w) e − jϕ ( w) 其中 H (w) = R2 R1 + R2 ， ϕ (w) = 0 故τ (w) = dϕ (w) = 0 ，没有群迟延； dw 图 B 1 H (w) = jwc = H (w) e − jϕ ( w) R + 1 jwc 1 其中 H (w) = ， ϕ (w) = −arctg (wRc) 1 + (wRc) 2 故τ (w) = dϕ (w) dw = Rc 1 + (wRc) 2  ，有群迟延失真。 3-5、一信号波形 s(t ) = A cos Ωt cos w0 t ，通过衰减为固定常数值、存在相移的网络。试证 明：若 w0 >> Ω 、且 w0 Ω 附近的相频特性可近似为线形，则该网络对 s(t ) 的迟延等 于它的包络的迟延。 证明：令该网络的传递函数为 H (w) ，则 H (w) = Ke − jϕ ( w)  w0 Ω 附近，ϕ (w) = wt0 即 H (w) = Ke − jwt0 ⇔ h(t) = Kδ (t − t0 ) 输出信号为 y(t ) = s(t) ∗ h(t ) = AK cos Ω(t − t0 ) cos w0 (t − t0 ) 对包络的迟延为 A cos Ωt ∗ Kδ (t − t0 ) = AK cos Ω(t − t0 ) 证毕。 3-6、瑞利衰落的包络值V 为何值时，V 的一维概率密度函数有最大值？ 解：瑞利衰落的包络值V 的一维概率密度函数为 f (V ) = V σ 2 exp(− V 2 ) 2σ 2 ) 2 2 2 exp(− V 2σ 2 df (V ) V 一维概率密度函数有最大值，则 = 0 ⇔ − exp(− V ) = 0 dV 可得 V = σ σ 2 σ 4 2σ 2 3-7、试根据瑞利衰落的包络值V 的一维概率密度函数求包络V 的数学期望和方差。 解： E (V ) = ∞ ∞ V 2 σ Vf (V )dV = 2  2 exp(− V )dV = π σ ∫ ∫ 2 −∞ 0 2σ 2 2 D(V ) = (2 − π )σ 2 2  见概率论教材。 3-8、假设某随参信道的两径时延差τ 为 1 ms ，试求该信道在哪些频率上传输衰耗最大？选 用哪些频率传输信号最有利？ 解：见第 50 页，该网络的幅频特性为 2 cos wτ = 2 cos(πf ) 2 当 f = n + 1 (KHz) 2  时，出现传输零点，传输衰耗最大 当 f = (n + 1 )KHz 时，出现传输极点，传输信号最有利。 2 3-9、题图 3.3 所示的传号和空号相间的数字信号通过某随参信道。已知接收信号是通过该 信道两条路径的信号之和。设两径的传输衰减相等（均为 d），且时延差τ=T/4。试画出接 收信号的波形示意图。 解： T 2T 3T td 接收信号的波形 3-10、设某随参信道的最大多径时延差等于 3 ms ，为了避免发生频率选择性衰落，试估算 在该信道上传输的数字信号的占用频带范围。 解： ∆f  = 1 = τ m  1 3 10 −3  = 333Hz 1 1 工程上的一般公式为 ∆f s = ( ~ 3 3-11、略 )∆f 5 = 66.7 ~ 111Hz 3-12、若两个电阻的阻值都为 1000Ω，它们的温度分别为 300K 和 400K，试求这两个电阻 串联后两端的噪声功率谱密度。 1 解： S (w) =2KTR=21.3810-23 3001000=8.2810-18 V2∕Hz S 2 (w) =21.3810 -23 4001000=11.0410-18 V2∕Hz S (w) = S1 (w) + S 2 (w) =19.3210 -18 V2∕Hz 3-13、具有 6.5MHz 带宽的某高斯信道，若信道功率与噪声功率谱密度之比为 45.5MHz ， 试求其信道容量。 解： C = B log 2 (1 + S ) = 6.5 log N 2 (1 + 45.5 ) = 19.5MHz 6.5 3-14、设高斯信道的带宽为 4KHz ，信号与噪声功率之比为 63，试确定利用这种信道的理 想通信系统的传信率与差错率。 解：信道容量为 C = B log 2 (1 + S ) = 4 log N 2 (64) = 24KHz 理想通信系统的传信率为 24 Kbit / s ，差错率为 0。 3-15、某一待传输的图片约含 2.25106 个像元。为了很好地重现图片需要 12 个亮度电平。 假若所有这些亮度电平等概率出现，试计算用 3min 传送一张图片时所需的信道带宽 (设信道中信噪功率比为 30dB)。 解：每像元信息量=-㏒ 2（1/12）≈3.58 bit 图片包含信息量=3.582.25106≈8.06106 bit 要在 3min 内传送一张图片时，C=8.06106/180≈4.48104 bit/s S/N=30dB=1030/10=1000 B=C/㏒ 2(1+S/N)≈4.49103 Hz 4.2 习题解答 4-1 一知线性调制信号表示式如下： (1) cosΩtcoswct (2) (1+0.5sinΩt) coswct 式中，wc=6Ω。试分别划出它们的勃兴图和频谱图。 解 (1) cosΩtcoswct 的波形略。 设 SM(w)=F[cosΩtcoswct],根据 wc=6Ω可得 SM(w)= π/2[ δ(w+ Ω+wc)+ δ(w+ Ω-wc)+ δ(w- Ω+wc)+ δ(w- Ω-wc)]= π/2[ δ(w+7 Ω)+ δ (w+5Ω)+δ(w-5Ω)+δ(w- 7Ω)] 该频谱图略。 (2) (1+0.5sinΩt) coswct 的波形图略。 设 SM(w)= F[(1+0.5sinΩt) coswct]，根据 wc=6Ω可得 SM(w)= π[δ(w +wc)+δ(w -wc)]+0.5jπ/2+[δ(w+Ω+wc)+δ(w+Ω-wc)-δ(w-Ω+wc)-δ (w-Ω-wc)] = π[δ(w+6Ω)+δ(w-6Ω)]+ jπ/4[δ(w+7Ω)- δ(w+5Ω)+δ(w-5Ω)-δ(w-7Ω)] 该频谱图略。 4-2 根据图 4-14 所示的调制信号波形，试画出 DSB 及 AM 信号的波形图，并比较他们分别 通过包络检波器后的波形差别。 解 设载波 s(t)=sinwct (1) DSB 信号 sDSB(t)=m(t) sinwct 该信号波形以及通过包络检波器的输出 e(t)波形略。 (2) AM 信号 sAM(t)=[m0+m(t)] sinwct,且有 m0≥︱m(t)︱max. 该信号波形以及通过包络检波器的输出 e(t)波形略。 4-3 已知调制信号 m(t)=cos (2000πt)+cos (4000πt),载波为 cos104πt,进行单边带调制，是确 定该单边带信号的表达式，并画出频谱图。 解 根据单边带信号的时域表达式，可确定上边代信号 sUSB(t)=1/2m(t) coswct –1/2 mˆ (t ) sinwc =1/2[cos (2000πt)+cos (4000πt)]cos104πt-1/2[sin (2000πt)+sin(4000πt)] sin104πt =1/4[cos12000πt+ cos8000πt+ cos14000πt+ cos6000πt]- 1/4[cos8000πt-cos12000π t+ cos6000πt- cos14000πt]=1/2 cos12000πt+1/2 cos14000πt sUSB(w)= π/2[δ(w+14000π)+δ(w+12000π)+ δ(w-12000π)+δ(w-14000π)] 同理，下边带信号为 sLSB(t)=1/2m(t) coswct +1/2 mˆ (t ) sinwc =1/2[cos (2000πt)+cos (4000πt)]cos104πt+1/2[sin (2000πt)+sin(4000πt)] sin104πt =1/2cos8000πt+ cos6000πt sLSB(w)= π/2[δ(w+8000π)+δ(w+6000π)+ δ(w-8000π)+δ(w-6000π) ] 两种单边带信号的频谱图略。 4-4 将调幅波通过残留边带滤波器产生残留边带信号。若此滤波器的传输函数 H(w) 如图 4-18 所示(斜线段为直线)。当调制信号为 m(t)=A[sin (100πt)+sin(6000πt)] 时，试确定所得残留边带信号的表示式。 解 设调幅波 sAM(t)=[m0+m(t)]C coswct, 其中 m0≥︱m(t)︱max=A,同时根据残留边带 滤波器在载波 fc 处具有互补对称特性，可以得出载频 fc=10KHz。因此 sAM(t)=[ m0+A(sin (100πt)+sin(6000πt)) cos 20000πt = m0cos20000πt+ A/2[sin20 100πt- sin19 900πt + sin26 000πt+ sin14000πt)] sAM(w)= πm0[δ(w +20 000π)+δ(w -20 000π)]+jπA/2+[δ(w+20 000π)-δ(w-20 000π)- δ(w+19 900π)+δ(w-19 900π)+δ(w+26 000π)- δ(w-26 000π)- δ(w+14 000π) +δ(w-14 000π) ] 同时，根据图 4-18 可得 w=20 000π(f=10kHz)时，H(w)=0.5 w=20 100π(f=10.05kHz)时，H(w)=0.55 w=19 900π(f=9.95kHz)时，H(w)=0.45 w=26 000π(f=13kHz)时，H(w)=1 w=14 000π(f=7kHz)时，H(w)=0 所以，残留边带信号频谱 sVSB(w)= sAM(w)H(w)= πm0/2[δ(w +20 000π)+δ(w -20 000π)]+jπA/2+[0.55δ(w+20 100π)-0.55δ(w-20 100π)-0.45δ(w+19 900π)+0.45δ(w-19 900π)+δ(w+26 000 π)- δ(w-26 000π)] sVSB(t)= F-1[sVSB(w)]= m0/2 cos 20000πt+ A/2(0.55 sin20100πt –0.45sin19 900πt+ sin26 000πt)] 4-5 某调制方框图如图 4-19(b)所示。已知 m(t)的频谱如图 4-19(a)，载频 w1<wH,且理 想低通滤波器的截止频率为 w1，时求输出信号 s(t),并说 s(t)为何种已调信号 。 解 设 m(t)与 cos w1t 相乘后的输出为 s1(t)，则 s1(t)是一个 DSB 信号，其频谱如图 4-20(a) 所 示。s1(t)再经过截止频率为 w1 的理想低通滤波器，所得输出信号 s′1(t)显然是一 个下边带信号，其频谱略 时域表达式则为 s′1(t)=1/2m(t) cos w1t+1/2 mˆ (t ) sin w1t 同理，m(t)与 sin w1t 相乘后的输出 s2(t) 再经过理想低通滤波器之后，得到输出信号 s′2(t) 也是一个下边带信号，其时域表示式为 s′2(t)=1/2m(t) sin w1t+1/2 mˆ (t ) cosw1t 因此，调治器最终的输出信号 s(t)= [1/2m(t) cos w1t+1/2 mˆ (t )  sin w1t] cosw2t+[1/2m(t) sin w1t+1/2 mˆ (t ) cosw1t] sin w2t =1/2m(t)[ cosw1t cosw2t- sin w1t sin w2t]+ 1/2 mˆ (t ) [ sin w1t cosw2t- cosw1t sin w2t]= 1/2m(t) cos(w2- w1)t-1/2 mˆ (t ) sin(w2- w1)t 显然，s(t)是一个载波角频率为(w2- w1)的上边带信号。 4-6 某调制系统如图 4-21 所示。 为了在输出端同时分别得到 f1(t) 和 f2(t)，试确定接收端的 c1(t)和 c2(t) 。 解 设发送端合成以后的发送信号 f (t)= f1(t) cosw0t+ f2(t) sin w0t。根据图 4-21 的处理框图， 接受端采用的是相干解调，若假设相干载波为 cosw0t，则解调后的输出 f0(t)= f (t)cosw0t︳LPF =[f1(t) cosw0t+ f2(t) sin w0t] cosw0t︳LPF =[1/2f1(t)+1/2 f1(t) cos2w0t+ 1/2f2(t) sin 2w0t]︳LPF =1/2 f1(t) 这时可以得到 f1(t)。 同理。假设接收端的相干载波为 sin w0t，则解调后的输出 f0(t)= f (t)sinw0t︳LPF =[f1(t) cosw0t+ f2(t) sin w0t] sinw0t︳LPF =[1/2f1(t)+1/2 f1(t) sin 2w0t- 1/2f2(t) cos 2w0t]︳LPF =1/2 f2(t) 这时可以得到 f2(t)。 综上所述，可以确定 c1(t)= cosw0t, c2(t)= sinw0t. 4-7 设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度 Pn(f)=0.510-3W/Hz,在该信道中传输抑制载 波的双边带信号，并设调制信号 m(t)的频带限制在 5KHz,而载波为 100 KHz，已调 信号的功率为 10Kw。若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过一理想带通 滤波器滤波，试问： (1) 该理想带通滤波器应具有怎样的传输特性 H(w)? (2) 解调器输入端的信噪功率比为多少？ (3) 解调器输出端的信噪功率比为多少？ (4) 求解调器输出端的噪声功率谱密度，并用图形表示出来。 解 (1) 该理想带通滤波器是用于滤除带外噪声，并保证已调 信号顺利通过。由于已调信号的中心频率为载频 100 KHz，带宽则是 m(t)带宽的两倍， 即 B=25 KHz=10 KHz,为保证信号顺利通过，理想带通滤波器具有如下传输特性： K ,95kHz ≤ f H (w) =  0, 其它 其中，K 为常数。  ≤ 105kHz (2)解调器输入端的噪声是经过理想带通滤波器后的高斯窄带噪声，其带宽为 B，因此输入 端的噪声功率 Ni=2Pn(f)B=20.510-310103=10W 已知输入信号功率 Si=10Kw,故有 10 10 3 Si/ Ni= 10 =1000 (3) 由于双边带调制系统的调制制度增益 G=2,因此，解调器输出端的信噪比 Si SO/ NO=2 =2000 Ni (4) 相干解调时，解调器的输出噪声 n0(t)=1/2 nc(t),其中 nc(t)是解调器输入端高斯窄带噪 声的同向分量，其功率谱密度  nc  P ( f ) = 2Pn  ( f ) = 10−3 W / Hz, f ≤ B = 5kHz 2 0, 其它 (5) 因此输出噪声 n0(t)的功率谱密度为 Pno ( f ) =  1 0.25 10 −3 W / Hz, f Pnc ( f ) =  4 0, 其它  ≤ 5kHz 4-8 若对某一信号用 DSB 进行传输，设加至接收机的调制信号 m(t)之功率谱密度为  nm m  P ( f ) =  2 ⋅  0, f  f , f f m > f m  ≤ f m 试求： (1) 接收机的输入信号功率； (2) 接收机的输出信号功率； (3) 若叠加于 DSB 信号的白噪声具有双边带功 率谱密度为 n0/2,设解调器的输出端接有截止频率为 fm 的理想低通滤波器，那么，输出信噪 功率比是多少？ 解 (1) 设 DSB 已调信号 sDSB