《立体几何复习》word版.doc

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1．直线与平面平行的判定 ①判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 ②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。 2．直线和平面垂直的判定 ①判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。 ② 3．两个平面平行的判定 判定定理：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。一面内找两相交直线与另一平面平行（线面面面） 推论：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面的两条直线平行，则这两个平面平行。 4．两个平面垂直的判定 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 5.空间角及求法 （1）异面直线所成的角：范围：；向量法： （2）线面所成的角：范围；向量法： P E C B A D F （3）二面角：范围：；向量法： 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，且PD⊥平面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F点． （1）证明PA//平面EDB； （2）求PA与平面EFD所成角的正弦值． 例2.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（1）证明AB⊥平面VAD． （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小． （3）若是的中点，在线段上是否 在一点,使∥平面若存在， 求出点的位置；若不存在，说明理由！ 例3.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD. （I）证明：平面PQC⊥平面DCQ; （II）求二面角Q-BP-C的余弦值. 练习：1．已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，正确命题的个数是（ ） ① 若a⊥α，b⊥α，则a∥b ； ②若 a∥α，b ∥α，则a∥b； ③ 若a⊥α，a⊥β，则α∥β； ④ 若α∥b，β∥b ，则α∥β． A． 1 B． 3 C． 2 D． 0 2.设l、m、n为不同的直线，为不同的平面，有如下四个命题：( ) ①若 ②若 ③若 ④若 A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于 _________ 4.已知是空间二向量，若的夹角为___________ 5.设，，且，则等于 6.正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是______________. 7.如图，是等边三角形， ，，将沿折叠到的位置，使得． ⑴ 求证：； ⑵ 若，分别是，的中点，求二面角的余弦值． 8.如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且, 、分别为、的中点． (Ⅰ) 求证： //平面； (Ⅱ) 求证：面平面； (Ⅲ) 在线段上是否存在点使得二面角的余弦值为？说明理由. 9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值. A D B C P E F G H 10.如图，四边形是正方形，平面，，，，， 分别为，，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小； （Ⅲ）在线段上是否存在一点,使直线与直线 所成的角为？若存在，求出线段的长；若 不存在，请说明理由.