北师大版八年级数学下册教案+随堂练习.doc

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北师大版八年级数学下册教案+随堂练习 目录 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1 不等关系 2 不等式的基本性质 3 不等式的解集 4 一元一次不等式 5 一元一次不等式与一次函数 6 一元一次不等式组 第二章 分解因式 1 分解因式 2 提公因式法 3 运用公式法 第三章 分式 1 分式 2 分式的乘除法 3 分式的加减法 4 分式方程 第四章 相似图形 1 线段的比 2 黄金分割 3 形状相同的图形 4 相似多边形 5 相似三角形 6 探索三角形相似的条件 7 测量旗杆的高度 8 相似多边形的性质 9 图形的放大与缩小 第五章 数据的收集与处理 1 每周干家务活的时间 2 数据的收集 3 频数与频率 4 数据的波动 第六章 证明（一） 1 你能肯定吗 2 定义与命题 3 为什么他们平行 4 如果两条直线平行 5 三角形内角和定理的证明 6 关注三角形的外角 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1.1 不等关系 一、教学目标：理解实数范围内代数式的不等关系，并会进行表示。 能够根据具体的事例列出不等关系式。 二、教学过程： 如图：用两根长度均为Lcm的绳子，各位成正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝，那么绳长L应该满足怎样的关系式？ （2）如果要使原的面积大于100㎝，那么绳长L应满足怎样的关系式？ （3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？ （4）由（3）你能发现什么？改变L的取值再试一试。 在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为（L/4），远的面积可以表示为π（L/2π） 。 （1）要是正方形的面积不大于25㎝，就是 （L/4）≤25， 即L/16≤25。 （2）要使原的面积大于100㎝，就是 π（L/2π）＞100 即 L/4π＞100。 （3）当L=8时，正方形的面积为8/16=6，圆的面积为 8/4π≈5.1， 4＜5.1 此时圆的面积大。 当L=12时，正方形的面积为12/16=9，圆的面积为 12/4π≈11.5， 9＜11.5， 此时还是圆的面积大。 教师得出结论 （4）由（3）可以发现，无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 L/4π＞L/16。 三、 随堂练习 1、试举几个用不等式表示的例子。 2、用适当的符号表示下列关系 （1）a是非负数； （2）直角三角形斜边c比她的两直角边a，b都长； （3）x于17的和比它的5倍小。 1.2 不等式的基本性质 一、教学目标 （1）探索并掌握不等式的基本性质； （2）理解不等式与等式性质的联系与区别. 二、教学内容 我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 1.不等式基本性质的推导 例∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a＜5+a 3－a＜5－a 所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 例：3＜4 33＜43 3＜4 3（－3）＞4（－3） 3（－）＞4（－） 3（－5）＞4（－5） 由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变. 三、课堂练习 1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式. （1）x－1＞2 （2）－x＜ 解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x＞3 （2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x＞－ 2.已知x＞y,下列不等式一定成立吗？ （1）x－6＜y－6; （2）3x＜3y; （3）－2x＜－2y. 解：（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6. ∴不等式不成立； （2）∵x＞y,∴3x＞3y ∴不等式不成立； （3）∵x＞y,∴－2x＜－2y ∴不等式一定成立. 4.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： （1）x－2＜3;（2）6x＜5x－1; （3）x＞5;（4）－4x＞3. 5.设a＞b.用“＜”或“＞”号填空. （1）a－3 b－3;（2） ; （3）－4a －4b;（4）5a 5b; （5）当a＞0,b 0时，ab＞0; （6）当a＞0,b 0时，ab＜0; （7）当a＜0,b 0时，ab＞0; （8）当a＜0,b 0时，ab＜0. 参考答案： 4.（1）x＜5;（2）x＜－1;（3）x＞10;（4）x＜－. 5（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞（5）＞ （6）＜ （7）＜ （8）＞. 1.3 不等式的解集 一、教学目标 1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义. 2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义. 3.会在数轴上表示不等式的解集. 二、教学过程 1.现实生活中的不等式. 燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s，人离开的速度为4 m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？ 分析：人转移到安全区域需要的时间最少为秒，导火线燃烧的时间为秒，要使人转移到安全地带，必须有：＞. 解：设导火线的长度应为x cm，根据题意，得 ＞ ∴x＞5. 2.想一想 （1）x=5,6,8能使不等式x＞5成立吗？ （2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？ 答：（1）x=5不能使x＞5成立，x=6,8能使不等式x＞5成立. （2）x=9,10,11…等比5大的数都能使不等式x＞5成立. 3.例题讲解 根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来. （1）x－2≥－4;（2）2x≤8 （3）－2x－2＞－10 解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得x≥－2 在数轴上表示为： （2）根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x≤4 在数轴上表示为： （3）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得－2x＞－8 根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x＜4 在数轴上表示为： 三、课堂练习 1.判断正误： （1）不等式x－1＞0有无数个解； （2）不等式2x－3≤0的解集为x≥. 2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上： （1）x＞4;（2）x≤－1; （3）x≥－2;（4）x≤6. 1.解：（1）∵x－1＞0,∴x＞1 ∴x－1＞0有无数个解.∴正确. （2）∵2x－3≤0,∴2x≤3, ∴x≤,∴结论错误. 2.解： 1.4 一元一次不等式 一、教学目标 1.知道什么是一元一次不等式？ 2.会解一元一次不等式. 二、一元一次不等式的定义. 下列不等式是一元一次不等式吗？ （1）2x－2.5≥15;（2）5+3x＞240; （3）x＜－4;（4）＞1. 答（1）、（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是. （4）为什么不是呢？ 因为x在分母中，不是整式. 不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown）. 2.一元一次不等式的解法. 例1 解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上. ［分析］要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式两边的x或常数项转移到同一侧，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质求得. 解：两边都加上x，得 3－x+x＜2x+6+x 合并同类项，得 3＜3x+6 两边都加上－6,得 3－6＜3x+6－6 合并同类项，得 －3＜3x 两边都除以3，得－1＜x 即x＞－1. 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式. ［例2］解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来. ［生］解：去分母，得3（x－2）≥2（7－x） 去括号，得3x－6≥14－2x 移项，合并同类项，得5x≥20 两边都除以5，得x≥4. 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 三、课堂练习 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）5x＞－10;（2）－3x+12≤0; （3）＜; （4）－1＜. 解：（1）两边同时除以5，得x＞－2. 这个不等式的解集在数轴上表示如下： （2）移项，得－3x≤－12, 两边都除以－3，得x≥4, 这个不等式的解集在数轴上表示为： （3）去分母，得3（x－1）＜2（4x－5）, 去括号，得3x－3＜8x－10, 移项、合并同类项，得5x＞7, 两边都除以5，得x＞, 不等式的解集在数轴上表示为： （4）去分母，得x+7－2＜3x+2, 移项、合并同类项，得2x＞3, 两边都除以2，得x＞, 不等式的解集在数轴上表示如下： 1.5 一元一次不等式与一次函数 一、教学目标 1.一元一次不等式与一次函数的关系. 2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较. 二、教学过程 1.一元一次不等式与一次函数之间的关系. 作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题. （1）x取哪些值时，2x－5=0? （2）x取哪些值时，2x－5＞0? （3）x取哪些值时，2x－5＜0? （4）x取哪些值时，2x－5＞3? （1）当y=0时，2x－5=0, ∴x=, ∴当x=时，2x－5=0. （2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0,解得x=.当x＞时，由y=2x－5可知 y＞0.因此当x＞时，2x－5＞0; （3）同理可知，当x＜时，有2x－5＜0; （4）要使2x－5＞3,也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3. 3.试一试 如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0? 首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图 从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0,得x=－2.5,所以当x取小于－2.5的值时，y＞0. 三、课堂练习 1.已知y1=－x+3,y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流. 解：如图1－24所示： 当x取小于的值时，有y1＞y2. 2.作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题： （1）x取何值时，2x－4＞0？ （2）x取何值时，－2x+8＞0? （3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？ （4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程. 解：图象如下： 分析：要使2x－4＞0成立，就是y1=2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即为函数y2=－2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积. ［解］（1）当x＞2时，2x－4＞0; （2）当x＜4时，－2x+8＞0; （3）当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立. （4）由2x－4=0,得x=2; 由－2x+8=0,得x=4 所以AB=4－2=2 由 得交点C（3，2） 所以三角形ABC中AB边上的高为2. 所以S=22=2. 3.分别解不等式 5x－1＞3（x+1）, x－1＜7－x 所得的两个解集的公共部分是什么？ 解：解不等式5x－1＞3（x+1）,得x＞2 解不等式x－1＜7－ x，得x＜4, 所以两个解集的公共部分是2＜x＜4. 4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？ 解：设商场计划投入资金为x元，在月初出售，到月末共获利y1元；在月末一次性出售获利y2元， 根据题意，得 y1=15%x+（x+15%x）10%=0.265x, y2=30%x－700=0.3x－700. （1）当y1＞y2,即0.265x＞0.3x－700时，x＜20000; （2）当y1=y2,即0.265x=0.3x－700时，x=20000; （3）当y1＜y2，即0.265x＜0.3x－700时，x＞20000. 所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多. 5.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y（微克），随着时间x（小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）. （1）分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式； （2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？ 解：（1）当x≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设y1=k1x, 把（2，6）代入得，k1=3 ∴y1=3x. 当x≥2时，图象过（2，6），（10，3）点. 设y2=k2x+b,则有 得k2=－,b= ∴y2=－x+ （2）过y轴上的4点作平行于x轴的一条直线，于y1,y2的图象交于两点，过这两点向x轴作垂线,对应x轴上的和，即在－=6小时间是有效的. 1.6 一元一次不等式组 一、教学目标 总结解一元一次不等式组的步骤及情形. 二、教学过程 某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月。如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨。该校计划每月烧煤多少吨？ 解： 设该校计划每月烧煤x吨，根据题意，得 4（x+5）>100, （1） 且 4（x-5）<68. （2） 未知数x同时满足 （1）（2）两个条件，把（1）（2）两个不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组，记作 4（x+5）>100, 4（x-5）<68. 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元依次不等式组。 解下列不等式组 （1） （2） （3） （4） （1） 解：解不等式（1），得x＞1 解不等式（2），得x＞－4. 在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集如下图 所以，原不等式组的解集是x＞1 （2） 解：解不等式（1），得x＜ 解不等式（2），得x＜ 在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集.如下图 所以，原不等式组的解集是x＜ （3） 解：解不等式（1），得x＞ 解不等式（2），得x≤4. 在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集，如下图 所以，原不等式组的解集为＜x≤4. （4） 解：解不等式（1），得x＞4. 解不等式（2），得x＜3. 在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集如下图 所以，原不等式组的解集为无解. 我们从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，认真观察，互相交流，找出规律. （1）由得x＞1; （2）由; （3）由得＜x≤4; （4）由得，无解. 两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形. 设a＜b,那么 （1）不等式组的解集是x＞b; （2）不等式组的解集是x＜a; （3）不等式组的解集是a＜x＜b; （4）不等式组的解集是无解. 用语言简单表述为： 同大取大；同小取小； 大于小数小于大数取中间； 大于大数小于小数无解. 三、课堂练习 解下列不等式组 （1） （2） ［解］（1） 解不等式（1），得x＜2 解不等式（2），得x＞3 在同一数轴上表示不等式（1）、（2）的解集， 所以，原不等式组无解. （2） 解：解不等式（1），得x＞2 解不等式（2），得x＞3 在同一数轴上表示不等式（1），（2）的解集，如下图 所以，原不等式组的解集为x＞3. 第二章 分解因式 2.1 分解因式 一、教学目标 让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式. 二、教学过程 一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积. 解法一：S= + + =++=2 解法二：S= + + = （ ++）=4=2 1.公因式与提公因式法分解因式的概念. 把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 2.例题讲解 ［例1］将下列各式分解因式： （1）3x+6; （2）7x2－21x; （3）8a3b2－12ab3c+abc （4）－24x3－12x2+28x. 分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来. 解：（1）3x+6=3x+32=3（x+2）; （2）7x2－21x=7xx－7x3=7x（x－3）; （3）8a3b2－12ab3c+abc =8a2bab－12b2cab+abc =ab（8a2b－12b2c+c） （4）－24x3－12x2+28x =－4x（6x2+3x－7） 三、课堂练习 1.写出下列多项式各项的公因式. （1）ma+mb （m） （2）4kx－8ky （4k） （3）5y3+20y2 （5y2） （4）a2b－2ab2+ab （ab） 2.把下列各式分解因式 （1）8x－72=8（x－9） （2）a2b－5ab=ab（a－5） （3）4m3－6m2=2m2（2m－3） （4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9） （5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c） （6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1） 四、课后作业 1.解：（1）2x2－4x=2x（x－2）; （2）8m2n+2mn=2mn（4m+1）; （3）a2x2y－axy2=axy（ax－y）; （4）3x3－3x2－9x=3x（x2－x－3）; （5）－24x2y－12xy2+28y3 =－（24x2y+12xy2－28y3） =－4y（6x2+3xy－7y2）; （6）－4a3b3+6a2b－2ab =－（4a3b3－6a2b+2ab） =－2ab（2a2b2－3a+1）; （7）－2x2－12xy2+8xy3 =－（2x2+12xy2－8xy3） =－2x（x+6y2－4y3）; （8）－3ma3+6ma2－12ma =－（3ma3－6ma2+12ma） =－3ma（a2－2a+4）; 2.利用因式分解进行计算 （1）1210.13+12.10.9－121.21 =12.11.3+12.10.9－1.212.1 =12.1（1.3+0.9－1.2） =12.11=12.1 （2）2.3413.2+0.6613.2－26.4 =13.2（2.34+0.66－2） =13.21=13.2 （3）当R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14时 πR12+πR22+πR32 =π（R12+R22+R32） =3.14（202+162+122） =2512 2.2 提公因式法 一、教学目标 让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式. 例1 把a（x－3）+2b（x－3）分解因式. 分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来. 解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b） ［例2］把下列各式分解因式: （1）a（x－y）+b（y－x）; （2）6（m－n）3－12（n－m）2. 分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此. 解：（1）a（x－y）+b（y－x） =a（x－y）－b（x－y） =（x－y）（a－b） （2）6（m－n）3－12（n－m）2 =6（m－n）3－12［－（m－n）］2 =6（m－n）3－12（m－n）2 =6（m－n）2（m－n－2）. 二、做一做 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立: （1）2－a=__________（a－2）; （2）y－x=__________（x－y）; （3）b+a=__________（a+b）; （4）（b－a）2=__________（a－b）2; （5）－m－n=__________－（m+n）; （6）－s2+t2=__________（s2－t2）. 解：（1）2－a=－（a－2）; （2）y－x=－（x－y）; （3）b+a=+（a+b）; （4）（b－a）2=+（a－b）2; （5）－m－n=－（m+n）; （6）－s2+t2=－（s2－t2）. 三、课堂练习 把下列各式分解因式： 解：（1）x（a+b）+y（a+b） =（a+b）（x+y）; （2）3a（x－y）－（x－y） =（x－y）（3a－1）; （3）6（p+q）2－12（q+p） =6（p+q）2－12（p+q） =6（p+q）（p+q－2）; （4）a（m－2）+b（2－m） =a（m－2）－b（m－2） =（m－2）（a－b）; （5）2（y－x）2+3（x－y） =2［－（x－y）］2+3（x－y） =2（x－y）2+3（x－y） =（x－y）（2x－2y+3）; （6）mn（m－n）－m（n－m）2 =mn（m－n）－m（m－n）2 =m（m－n）［n－（m－n）］ =m（m－n）（2n－m）. 补充练习 把下列各式分解因式 解：1.5（x－y）3+10（y－x）2 =5（x－y）3+10（x－y）2 =5（x－y）2［（x－y）+2］ =5（x－y）2（x－y+2）; 2. m（a－b）－n（b－a） =m（a－b）+n（a－b） =（a－b）（m+n）; 3. m（m－n）+n（n－m） =m（m－n）－n（m－n） =（m－n）（m－n）=（m－n）2; 4. m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q） = m（m－n）（p－q）+n（m－n）（p－q） =（m－n）（p－q）（m +n）; 5.（b－a）2+a（a－b）+b（b－a） =（b－a）2－a（b－a）+b（b－a） =（b－a）［（b－a）－a+b］ =（b－a）（b－a－a+b） =（b－a）（2b－2a） =2（b－a）（b－a） =2（b－a）2 2.3运用公式法（一） 一、教学目标 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式. 3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式. 二、教学过程 1.请看乘法公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 （1） 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2－b2=（a+b）（a－b） （2） 左边是一个多项式，右边是整式的乘积. 利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式. 2.公式讲解 观察式子a2－b2,找出它的特点. 答：是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. 如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积. 如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）. 9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2 =（3 m +2n）（3 m －2n） 3.例题讲解 ［例1］把下列各式分解因式： （1）25－16x2; （2）9a2－b2. 解：（1）25－16x2=52－（4x）2 =（5+4x）（5－4x）; （2）9a2－ b2=（3a）2－（b）2 =（3a+b）（3a－b）. ［例2］把下列各式分解因式: （1）9（m+n）2－（m－n）2; （2）2x3－8x. 解：（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－（m－n）2 =［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］ =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n） =（4 m +2n）（2 m +4n） =4（2 m +n）（m +2n） （2）2x3－8x=2x（x2－4） =2x（x+2）（x－2） 说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法. 三、课堂练习 1.判断正误 解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （） （2）x2－y2=（x+y）（x－y）; （√） （3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （） （4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）. （） 2.把下列各式分解因式 解：（1）a2b2－m2 =（ab）2－m 2 =（ab+ m）（ab－m）; （2）（m－a）2－（n+b）2 =［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］ =（m－a+n+b）（m－a－n－b）; （3）x2－（a+b－c）2 =［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］ =（x+a+b－c）（x－a－b+c）; （4）－16x4+81y4 =（9y2）2－（4x2）2 =（9y2+4x2）（9y2－4x2） =（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x） 3.解：S剩余=a2－4b2. 当a=3.6,b=0.8时， S剩余=3.62－40.82=3.62－1.62=5.22=10.4（cm2） 答：剩余部分的面积为10.4 cm2. 四、课后作业 1.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）; （2）36－x2=（6+x）（6－x）; （3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）; （4）m 2－9n2=（m +3n）（m－3n）; （5）0.25q2－121p2 =（0.5q+11p）（0.5q－11p）; （6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）; （7）9a2p2－b2q2 =（3ap+bq）（3ap－bq）; （8）a2－x2y2=（a+xy）（ a－xy）; 2.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）; （2）49（a－b）2－16（a+b）2 =［7（a－b）］2－［4（a+b）］2 =［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］ =（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b） =（11a－3b）（3a－11b）; （3）（2x+y）2－（x+2y）2 =［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］ =（3x+3y）（x－y） =3（x+y）（x－y）; （4）（x2+y2）－x2y2 =（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）; （5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4） =3a（x+y2）（x－y2） （6）p4－1=（p2+1）（p2－1） =（p2+1）（p+1）（p－1）. 3.解：S环形=πR2－πr2=π（R2－r2） =π（R+r）（R－r） 当R=8.45,r=3.45，π=3.14时， S环形=3.14（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.1411.95=186.83（cm2） 答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2. Ⅵ.活动与探究 把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc =［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc =abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc =a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2 =（b+c）［a2+bc+a（b+c）］ =（b+c）［a2+bc+ab+ac］ =（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］ =（b+c）（a+b）（a+c） 运用公式法（二） 一、教学目标 1.使学生会用完全平方公式分解因式. 2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式. 二、教学过程 在前面我们不仅学习了平方差公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 而且还学习了完全平方公式 （ab）2=a22ab+b2 三、新课 判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍. 1.例题讲解 ［例1］把下列完全平方式分解因式： （1）x2+14x+49; （2）（m+n）2－6（m +n）+9. ［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式. 解：（1）x2+14x+49=x2+27x+72=（x+7）2 （2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2（m +n）3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2. ［例2］把下列各式分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2; （2）－x2－4y2+4xy. ［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式. 如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式. 解：（1）3ax2+6axy+3ay2 =3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2 （2）－x2－4y2+4xy =－（x2－4xy+4y2） =－［x2－2x2y+（2y）2］ =－（x－2y）2 四、课堂练习 1.（1）是完全平方式 x2－x+=x2－2x+（）2=（x－）2 （2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求. （3）是完全平方式 m2+3 m n+9n2 =（ m）2＋2 m3n+（3n）2 =（ m +3n）2 （4）不是完全平方式 2.（1）x2－12xy+36y2 =x2－2x6y+（6y）2 =（x－6y）2; （2）16a4+24a2b2+9b4 =（4a2）2+24a23b2+（3b2）2 =（4a2+3b2）2 （3）－2xy－x2－y2 =－（x2+2xy+y2） =－（x+y）2; （4）4－12（x－y）+9（x－y）2 =22－223（x－y）+［3（x－y）］2 =［2－3（x－y）］2 =（2－3x+3y）2 五、课后作业 1.（1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2; （2）9－12t+4t2=（3－2t）2; （3）y2+y+=（y+）2; （4）25m2－80 m +64=（5 m－8）2; （5）+xy+y2=（+y）2; （6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2 2.（1）（x+y）2+6（x+y）+9 =［（x+y）+3］2 =（x+y+3）2; （2）a2－2a（b+c）+（b+c）2 =［a－（b+c）］2 =（a－b－c）2; （3）4xy2－4x2y－y3 =y（4xy－4x2－y2） =－y（4x2－4xy+y2） =－y（2x－y）2; （4）－a+2a2－a3 =－（a－2a2+a3） =－a（1－2a+a2） =－a（1－a）2. 3.设两个奇数分别为x、x－2,得 x2－（x－2）2 =［x+（x－2）］［x－（x－2）］ =（x+x－2）（x－x+2） =2（2x－2） =4（x－1） 第三章 分式 3.1 分式 一、教学目标 1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感. 2.了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系. 3.掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系. 二、教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷？ 这一问题中有哪些等量关系？ 如果原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月. 根据题意，可得方程____________. 根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.（1） 这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.（2） 在这个问题中，涉及到了三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率工作时间. 如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？ 因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x公顷. 原计划完成一期工程需个月， 实际完成一期工程需c个月， 根据等量关系（1）可列出方程： +4=. 用等量关系（2）设未知数，列方程呢？ 因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间.不妨设原计划x个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x－4）个月，那么原计划每月固沙造林的公顷数为公顷，实际每月固沙造林公顷，根据题意可得方程. 同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？ 我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本量.如，,.这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程，但分母中含有字母，要求出它的解，好像很不容易. 像这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式. 2.例题讲解 （1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 5x－7,3x2－1,,,－5,,,. （2）①当a=1，2时，分别求分式的值. ②当a为何值时，分式有意义？ ③当a为何值时，分式的值为零？ （1）中5x－7,3x2－1, ,－5, 是整式；,,是分式. （2）解：①当a=1时，==1; 当a=2时，==. ②当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义. 由分母2a=0，得a=0. 所以，当a取零以外的任何实数时，分式有意义. ③分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零.因此a的取值有两个要求： 所以，当a=－1时，分母不为零，分子为零，分式为零. 三、随堂练习 1.当x取什么值时，下列分式有意义？ （1）；（2）;（3） 分析：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义. 解：（1）由分母x－1=0，得x=1. 所以，当x取除1以外的任何实数时，分式都有意义. （2）由分母x2－9=0，得x=3. 所以，当x取除3和－3以外的任何实数时，分式都有意义. （3）由分母x2+1可知，x取任何实数时，x2是一个非负数，所以x2+1不管x取何实数时，x2+1都不会为零.即x取任何实数，都有意义. 2.把甲、乙两种饮料按质量比x∶y混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制1 kg这种混合饮料需多少甲种饮料？ 解：根据题意，调制1 kg这种混合饮料需 kg甲种饮料. 3.2 分式的乘除法 一、教学目标 1.分式乘除法的运算法则， 2.会进行分式的乘除法的运算. 二、教学过程 探索、交流——观察下列算式： =,=, ==,==. 猜一猜=? =? 观察上面运算，可知： 两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘. 即=; ==. 这里字母a,b,c,d都是整数，但a,c,d不为零. 1.分式的乘除法法则 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 2.例题讲解 ［例1］计算： （1）;（2）. 分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式. 解：（1）= ==; （2） ==. ［例2］计算： （1）3xy2;（2） 分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路. 解：（1）3xy2=3xy2 ==x2; （2） = = = = 3.做一做 通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V=πR3（其中R为球的半径），那么 （1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？ （2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？ （3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？ 我们不妨设西瓜的半径为R,根据题意，可得： （1）整个西瓜的体积为V1=πR3; 西瓜瓤的体积为V2=π（R－d）3. （2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比为： == =（）3=（1－）3. （3）我认为买大西瓜合算. 由=（1－）3可知，R越大，即西瓜越大，的值越小，（1－）的值越大，（1－）3也越大，则的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大，因此，买大西瓜更合算. 三、随堂练习 1.计算：（1）;（2）（a2－a）;（3） 2.化简： （1）; （2）（ab－b2） 解：1.（1）===; （2）（a2－a）=（a2－a） ==（a－1）2 =a2－2a+1 （3）= ==（x－1）y=xy－y. 2.（1） = = =（x－2）（x+2）=x2－4. （2）（ab－b2） =（ab－b2）= =b. 3.3 分式的加减法 一、教学目标 1.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用. 2.简单的异分母的分式相加减的运算. 二、教学过程 问题一：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条是平路，第二条有1 km的上坡路、2 km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么 （1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间? （2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？ 问题二：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？ 答案：问题一，根据题意可得下列线段图： （1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（+）h. （2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为h.但要求出小丽走哪条路花费的时间少.就需要比较（+）与的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出. 如果要比较（+）与的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母. 比较两个数的大小，我们可以用作差法.例如有两个数a,b. 如果a－b＞0，则a＞b; 如果a－b=0,则a=b； 如果a－b＜0,则a＜b. 显然（+）和中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做. 如果用作差的方法，例如（+）－，如何判断它大于零，等于零，小于零呢？ 做一做 （1）+=____________. （2）－=____________. （3）－+=____________. 同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如+－==－. 我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减. 解：（1）+==; 解：（2）－=; 解：（3）－+ = = = 异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法 ［例1］计算： （1）+;（2）+ ［例1］中的第（1）题，一个分母是a,另一个分母是5a，利用分式的基本性质，只需将第一个分式化成=即可. 解：（1）+=+ ===; （2）+=+ == 三、计算： （1）－; （2）+; （3）－ 解：（1）－==; （2）+=+==; （3）－=－ ==. 3.4 分式方程 一、教学目标 1.了解分式方程的一般步骤. 2.了解解分式方程验根的必要性. 二、教学过程 解方程+=2－ （1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得 3（3x－1）+2（5x+2）=62－（4x－2）. （2）去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2, （3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4, （4）合并同类项，得23x=13, （5）使x的系数化为1，两边同除以23，x=. 例1 解方程：－=4 解：方程两边同乘以2x，得 600－480=8x 解这个方程，得x=15 检验：将x=15代入原方程，得 左边=4，右边=4，左边=右边,所以x=15是原方程的根. 例2 .解方程： （1）=;（2）+=2. ［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题. 解：（1）= 去分母，方程两边同乘以x（x－1），得 3x=4（x－1） 解这个方程，得x=4 检验：把x=4代入x（x－1）=43=12≠0， 所以原方程的根为x=4. （2）+=2 去分母，方程两边同乘以（2x－1），得 10－5=2（2x－1） 解这个方程，得x= 检验：把x=代入原方程分母2x－1=2－1=≠0. 所以原方程的根为x=. 第四章 相似图形 4.1 线段的比 一、教学目标 1.知道线段比的概念. 2.会计算两条线段的比. 3.熟记比例的基本性质，并能进行证明和运用. 二、教学过程 1.两条线段的比的概念 两条线段的比就是两条线段长度的比. 比如：线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？ 不对，因为a、b的长度单位不一致，所以不对. 注意：在量线段时要选用同一个长度单位. 2..例题 在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm、10 cm. （1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ （2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 解：（1）根据题意，得 因此，新安大街的实际长度是 169000=144000（cm）, 144000 cm=1440 m; 光华大街的实际长度是 109000=90000（cm） 90000 cm=900 m. （2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5 新安大街的实际长度与光华大街的实 际长度之比是144000∶90000=8∶5 由例2的结果可以发现： 三、随堂练习 1.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm2 cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？ 解：根据题意，得 矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000 因此，矩形运动场的长是 28000=16000（cm）=160（m） 矩形运动场的宽是 18000=8000（cm）=80（m） 所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m. 四、活动与探究 为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a（其中a＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a的值. 解：方案（1）： ∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*） ∴ 解得：a= 方案（2）： 由（*）得 ∴x=,a= 方案（3）： 由（*）得 ∴y= 且 ∴z= 由=a 得a= 方案（4）： 由（*）得 ∴b=