北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科).doc

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海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 （理科） 2010.1 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1． 函数的值域为 A． B． C． D． 2．如图，、分别是圆的割线和切线（C为切点），若，则的长为 A． B．6 C． D．3 3．已知双曲线，那么它的焦点到渐近线的距离为 A．1 B． C．3 D．4 4．已知为两条不同直线，为两个不同平面，那么使成立的一个充分条件是 A． B． C． D．上有不同的两个点到的距离相等 5．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为 A． B． C． D． 6．如图，向量等于 A． B． C． D． 7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 A．72种 B．54种 C．36种 D．18种 8．点在曲线：上，若存在过的直线交曲线于点，交直线： 于点，满足或，则称点为“H点”，那么下列结论正确的是 A．曲线..上的所有点都是“H点” B．曲线上仅有有限个点是“H点” C．曲线上的所有点都不是“H点” D．曲线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H点” 第II卷（共110分） 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9．若直线的参数方程为，则直线的斜率为_______________. 开始 x > 0 结束 输出y 是 否 输入x 10．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y值为， 则输入的实数x值为________________. 11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何 体的表面积为__________________. 12．设关于的不等式的解集中整数的个数为，数列的前项和为，则的值为_______________________. 13．在区间上任取两个数，那么函数无零点的概率为_________. 14．考虑以下数列，： ① ；② ；③ . 其中满足性质“对任意正整数，都成立”的数列有 （写出满足条件的所有序号）；若数列满足上述性质，且，，则的最小值为 . 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分） 在中，角的对边分别为，，的面积为. （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求的值. 16．（本小题满分13分） 某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表： 第一空得分情况 第二空得分情况 得分 0 3 得分 0 2 人数 　198 　802 人数 　698 　302 （Ⅰ）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分； （Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率. 17． （本小题满分13分） 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点. （Ⅰ）求证：DE∥平面PFB； （Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积. 18.（本小题满分13分） 已知函数（其中）. （Ⅰ）若函数在点处的切线为，求实数的值； （Ⅱ）求函数的单调区间. 19．（本小题满分14分） 已知抛物线经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线. （Ⅰ）求抛物线的方程及准线方程； （Ⅱ）当直线与抛物线相切时，求直线与抛物线所围成封闭区域的面积； （Ⅲ）设直线分别交抛物线于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程. 20．（本小题满分14分） 给定项数为的数列，其中. 若存在一个正整数，若数列中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列是“k阶可重复数列”， 例如数列 因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”. （Ⅰ）分别判断下列数列 ① ② 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项； （Ⅱ）若数为的数列一定是 “3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由； （III）假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值. 海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 （理） 参考答案及评分标准 2010．1 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C C D B D 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9． 10． 11． 12．10100 13． 14．②③;28 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，，， 因为 ， 即 ， ………………..1分 解得 . ………………..3分 由余弦定理可得:, ………………..5分 所以 . ………………..7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有, ………………..9分 由于A是三角形的内角， 易知 , ………………..10分 所以 ………………..11分 . ………………..13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为，则由表中数据可得: ， ……………….4分 据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分. ……………….5分 （Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，……………….7分 记“第一空答对”为事件，“第二空答对”为事件，则“第一空答错”为事件， “第二空答错”为事件.若要第一空得分不低于第二空得分，则发生或与同时发生， ……………….9分 故有： . ……………….12分 答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94. ……………….13分 17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点， 所以, 所以，为平行四边形, ……………….2分 得， ……………….3分 又因为平面PFB，且平面PFB, ……………….4分 所以DE∥平面PFB. ……………….5分 （Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA,DC,DP分 别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a, 可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0) 则有： ……………….6分 因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的 一个法向量为， ……………….7分 设平面PFB的一个法向量为，则可得 即 令x=1,得，所以. ……………….9分 由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，所以得: , ……………….10分 解得a =2. ……………….11分 因为PD是四棱锥P-ABCD的高， 所以，其体积为. ……………….13分 18.（本小题满分13分） 解：由，可得. ……………….2分 （Ⅰ）因为函数在点处的切线为，得: ……………….4分 解得 ……………….5分 （Ⅱ）令，得… ① ……………….6分 当，即时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数的单调递增区间为和. ……………….8分 当，即时，不等式①的解为或， ……………….10分 又因为，所以此时函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和. .……………….12分 所以，当时，函数的单调递增区间为和； 当时，函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为和. .……………….13分 19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由于A(2,1)在抛物线上， 所以 ，即. ……………….2分 故所求抛物线的方程为，其准线方程为. ……………….3分 （Ⅱ）当直线与抛物线相切时，由，可知直线的斜率为1，其倾斜角为，所以直线的倾斜角为，故直线的斜率为，所以的方程为 …….4分 将其代入抛物线的方程，得 , 解得 , …….5分 所以直线与抛物线所围成封闭区域的面积为: ……………….6分 ……………….8分 （Ⅲ）不妨设直线AB的方程为， ……………….9分 由 得, ……………….10分 易知该方程有一个根为2，所以另一个根为， 所以点B的坐标为, 同理可得C点坐标为, ……………….11分 所以 , ……………….12分 线段BC的中点为，因为以BC为直径的圆与准线相切， 所以 ,由于， 解得 . …………….13分 此时，点B的坐标为，点C的坐标为， 直线BC的斜率为， 所以，BC的方程为，即. …….14分 20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）记数列①为，因为与按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0; 记数列②为，因为、、、、 、没有完全相同的，所以不是“5阶可重复数列”. ……………….3分 （Ⅱ）因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情形.若m＝11，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”；若m＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列.所以，要使数列一定 是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11. ……………….8分 （III）由于数列在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列的末项后再添加一项，则存在， 使得与按次序对应相等，或与按次序对应相等， 如果与不能按次序对应相等，那么必有，，使得、与按次序对应相等. 此时考虑和，其中必有两个相同，这就导致数列中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列是“5阶可重复数列”，这和题设中数列不是“5阶可重复数列”矛盾！所以与按次序对应相等，从而 ……………….14分 说明：其它正确解法按相应步骤给分. ww.zxsx.com