高中数学立体几何中的向量方法(Ⅱ)-求空间角与距离.doc

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8.7 立体几何中的向量方法（Ⅱ）----求空间角与距离 一、填空题 1．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为________． 解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)， C1(0，a，a)，N. 设M(x，y，z)， ∵点M在AC1上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z) ∴x＝a，y＝，z＝. 得M， ∴||＝ ＝a. 答案　a 2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为________． 解析　设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为 z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－，所以sin〈，〉＝. 答案　 3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是________． 解析 两平面的一个单位法向量n0＝，故两平面间的距离 d＝|n0|＝. 答案　 4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________． 解析　建立坐标系如图， 则A(1,0,0)，E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2)． ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)， cos〈，〉＝＝. 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为. 答案　 5．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是________． 解析　建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，＝(－1,1－t，－2)，＝(－2,0,1)，＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直． 答案　异面垂直 6．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝________. 解析　如图，建立直角坐标系Dxyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝. 答案　 7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为________． 解析　如图建立直角坐标系Dxyz， 设DA＝1，由已知条件 G，B，E，F，＝， ＝ cos〈，〉＝＝0，则⊥. 答案　90 8．正四棱锥S ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________． 解析　如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P. 则＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)． 设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)， 则cos〈，n〉＝＝＝. ∴〈，n〉＝60， ∴直线BC与平面PAC的夹角为90－60＝30. 答案　30 9．已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________． 解析　如图，建立直角坐标系Dxyz，设DA＝1由已知条件A(1,0,0)，E，F ＝，＝ 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 面AEF与面ABC所成的二面角为θ 由 令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3) 平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1) cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝. 答案　 10．如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M 在正方形ABCD内的轨迹为________． 解析　以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图： 设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a,0)， 则MC＝， MP＝. 由MP＝MC得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y＝x的一部分． 答案　① 11．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥PABC的体积为________． 解析　以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图所示)． 设B＝λ，可得：P(λ，λ，λ)． 再由cos ∠APC＝可求得 当λ＝时，∠APC最大． 故VPABC＝11＝. 答案　 12．P是二面角αABβ棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45，∠MPN＝60，那么二面角αABβ的大小为________． 解析　不妨设PM＝a，PN＝b，如图， 作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∵∠EPM＝∠FPN＝45， ∴PE＝a，PF＝b， ∴＝(－)(－) ＝－－＋ ＝abcos 60－abcos 45－abcos 45＋ab ＝－－＋＝0， ∴⊥，∴二面角αABβ的大小为90. 答案　90 13．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则 λ＝________. 解析　由已知得＝＝， ∴8 ＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. 答案　－2或 二、解答题 14. 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45. (1)求证：平面PAB⊥平面PAD； (2)设AB＝AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长． 解析：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD， AB⊂平面ABCD， 所以PA⊥AB. 又AB⊥AD，PA∩AD＝A， 所以AB⊥平面PAD. 又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. (2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz(如图)． 在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD. 在Rt△CDE中，DE＝CDcos45＝1，CE＝CDsin45＝1. 设AB＝AP＝t，则B(t,0,0)，P(0,0，t)． 由AB＋AD＝4得AD＝4－t， 所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，＝(－1,1,0)， ＝(0,4－t，－t)． 设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由n⊥，n⊥，得 取x＝t，得平面PCD的一个法向量n＝(t，t,4－t)． 又＝(t,0，－t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30得 cos60＝||，即＝， 解得t＝或t＝4(舍去，因为AD＝4－t>0)， 所以AB＝. 15．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90，∠BAC＝30，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中点． (1)求证：A1B⊥AM； (2)求二面角B AMC的平面角的大小． 解析 (1)证明　以点C为原点，CB、CA、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示， 则B(1,0,0)，A(0，，0)，A1(0，，)，M. 所以＝(1，－，－)，＝. 因为＝10＋(－)(－)＋(－)＝0，所以A1B⊥AM. (2)因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC. 因为∠ACB＝90，即BC⊥AC，所以BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC. 所以是平面AMC的一个法向量，＝(1,0,0)． 设n＝(x，y，z)是平面BAM的一个法向量， ＝(－1，，0)，＝. 由得令x＝，得y＝，z＝2. 所以n＝(，，2) 因为||＝1，|n|＝2，所以cos〈，n〉＝＝，因此二面角B AMC的大小为45. 16．如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别在棱AA1和CC1上(含线段端点)． (1)如果AE＝C1F，试证明B，E，D1，F四点共面； (2)在(1)的条件下，是否存在一点E，使得直线A1B和平面BFE所成角等于？如果存在，确定点E的位置；如果不存在，试说明理由． 解析 (1)证明　以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Axyz， 设AE＝GF＝t. 则B(1,0,0)，D1(0,1,1)，E(0,0，t)，F(1,1,1－t)，其中0≤t≤1. 则＝＝(－1,0，t)，所以BE∥FD1. 所以B，E，D1，F四点共面． (2) ＝(－1,0,1)，＝(－1,0，t)，＝(0,1,1－t)， 可求平面BFE的法向量n＝(t，t－1,1)， 若直线A1B与平面BFE所成的角等于，则有sin＝， 即＝，解得t＝0，所以点E存在，且坐标为E(0,0,0)，即E在顶点A处． 17．如图所示，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC. (1)证明：AD⊥CE； (2)设侧面ABC为等边三角形，求二面角CADE的大小． 解析 (1)证明　取BC中点O， 连接AO，则AO⊥BC 由已知条件AO⊥平面BCDE， 如图，建立空间直角坐标系Oxyz， 则A(0,0，t)，D(1，，0) C(1,0,0)，E(－1，，0)， ＝(1，，－t) ＝(－2，，0) 则＝0，因此AD⊥CE. (2)作CF⊥AD垂足为F，连接EF， 则AD⊥平面CEF从而EF⊥AD 则∠CFE为二面角CADE的平面角． 在Rt△ACD中，CF＝＝， 在等腰△ADE中，EF＝， cos∠CFE＝＝－. ∴二面角C-AD-E的余弦值为－. 18．在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且 D1E＝λEO. (1)若λ＝1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值； (2)若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值． 解析　(1)不妨设正方体的棱长为1，以，，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz. 则A(1,0,0)，O，C(0,1,0)，D1(0,0,1)， (1)由题意知E. 于是＝，＝(0，－1,1)． 由cos〈，〉＝＝. 所以异面直线DE与CD1所成角的余弦值为. (2)设平面CD1O的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 由m＝0，m＝0， 得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m＝(1,1,1)． 由D1E＝λEO， 则E， ＝. 又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 由n＝0，n＝0， 得 取x2＝2，得z2＝－λ，即n＝(2,0，－λ)． 因为平面CDE⊥平面CD1O， 所以mn＝0，得λ＝2.