北京四中高中数学高考综合复习专题三函数的概念.doc

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北 京 四 中 高中数学高考综合复习 　　专题三　　 函数的概念 　　一.知识网络 　　　 　　　　　　 　　二.高考考点 　　1.映射中的象与原象的概念; 　　2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题; 　　3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题; 　　4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用. 　　三.知识要点 　　(一)函数的定义 　　1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数). 　　2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域. 　　3、认知: 　　①注意到现代定义中“A、B是非空数集”,因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在. 　　②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定. 　　(二).映射的概念 　　将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念. 　　1、定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f：A→B 　　2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射 f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f：a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象. 　　3、认知: 　　映射定义的精髓在于“任一(元素)对应唯一(元素)”,即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可“一对多”,允许“多对一”.因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为“满射”和“非满射”两类. 　　集合A到集合B的映射 f：A→B是一个整体,具有方向性； f：A→B 与 f：B→A 一般情况下是不同的映射. 　　（三）、函数的表示法 　　表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法. 　　1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式. 　　2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数. 　　3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法. 　　图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系. 　　认知:函数符号的意义 　　在函数的概念中,我们用符号“y=f(x)”表示“y是x的函数”这句话. 　　其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则“f”表示解析式蕴含的对自变量x施加的“一套运算的法则”,即一套运算的框架. 　　具体地,对于函数f(x)=5 -2x+3(x>1)　　　　 ① 　　对应法则“f”表示这样一套运算的框架:5(　) －2（　）＋3，（　）＞１． 　　即f: 5(　) -2(　　 )+3,(　　 )>1. 　　据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析: 　　f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5 -2a+3 (a>1); 　　f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5 -2x+3 (x>1); 　　f(g(x)):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有 　　f(g(x))=5 (x)-2g(x)+3 ( g(x)>1 )　　　　 ② 　　感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味①、②,不难从中悟出这样的代换规律: 　　f(x)的解析式f[g(x)]的表达式 　　我们将上述替换形象地称之为“同位替换”. 　　显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于“等量替换”，又高于“等量替换”，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是“等量替换”所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例. 　　四.经典例题 　　例1.如右图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=ｔ,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中 (　　 ) 　　 　　　 　　 　 　　　 　　 　　分析1:立足于f(t)在t∈[0,1]上的函数式.直线OA的方程为y=2x, 　　故当0≤t≤1时,　ｓ＝ ，,由此否定A,B,D,应选C. 　　分析2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态. 　　当l在Ｏ,D之间运动时,S随着t的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即ΔS1, ΔS2…, ΔSn是递增的(ΔSi是单位时间内面积的增量),故排除A和B,对于C和D,由t∈[0,1]时f(t)= 的凹凸性可排除D,故应选C. 　　例2.如图所示,梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(6,0), B(4,2),C(2,2),一条与y轴平行的直线ｌ从点O开始作平行移动,到点A为止.设直线ｌ与x轴的交点为M,OM=x,并记梯形被直线ｌ截得的在左侧的图形面积为y,求函数 y=f(x)的解析式,定义域及值域.　 　　分析:如图,由于点M位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定ｌ左侧图形形状的关键点,故以x=2,4 分划讨论的区间. 　　解: 　　(1)当0≤x≤2时,上述图形是一等腰RtΔ,此时, ｙ＝ ,即 ; 　　(2)当22),求f(2x+1)的解析式; 　　(2)已知 ,求f(x＋1)的解析式. 　　解: (1) 　　∵f(x)=x2+2x-1 (x>2) 　　∴以2x+1替代上式中的x得 　　f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+1>2) 　　∴f(2x+1)=4x2+8x+2 (x> ) 　　(2)由已知得 　　∴以x替代上式中的 得 　　f(x)=x2-1 (x≥1) 　　∴f(x+1)=(x＋1)2-1 (x+1≥1) 　　即f(x+1)=x2+2x (x≥0) 　　点评:上述求解也可运用换元法,但是,不论是“换元法”,还是上面实施的“同位替换”,它们都包括两个方面的替换: 　　(1)解析式中的替换; 　　(2) 取值范围中的替换. 　　根据函数三要素的要求,这两个方面的替换缺一不可. 　　例4. 设y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],f(x-1)=x2,试求不等式f(1-x)f(b)≥f(c),则映射f的个数为　　　　　　 ; 　　②若映射f满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则映射f的个数为　　　　 ; 　　③若映射f满足 f(a)-f(b)=f(c), 则映射f的个数为　　　　. 　　(2)设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从A到B的映射f满足 　　f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),则映射f的个数为　　　　 . 　　分析:注意到f(a)的意义:在映射f：A→B之下A中元素a的象,故有f(a),f(b),f(c)∈B.为便于梳理思路,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法. 　　解: (1)由已知得f(a),f(b),f(c)∈B 　　①列表法： 　　∵f(a)>f(b)≥f(c) 　　∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0. 　　根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察: 　　f(a) 　　f(b) 　　f(c) 　　1 　　0 　　0 　　1 　　0 　　-1 　　1 　　-1 　　-1 　　0 　　-1 　　-1 　　由此可知符合条件的映射是4个. 　　②列表法:注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值(从小到大)为主线列表考察 　　f(a) 　　f(b) 　　f(c) 　　0 　　0 　　0 　　0 　　1 　　-1 　　0 　　-1 　　1 　　1 　　0 　　-1 　　1 　　-1 　　0 　　-1 　　1 　　0 　　-1 　　0 　　1 　　由此可知符合条件的映射有7个. 　　③分类讨论：f(a)-f(b)=f(c) f(a)=f(b)+f(c) 　　即a的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线(从小到大)展开讨论. 　　（ i ）当象集合为单元素集合时,只有象集{0}满足已知条件,此时符合条件的映射f只有1个. 　　（ ii ）当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0}或{1,0} 　　{-1,0}:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;{1,0}:1=0+1,1=1+0 　　此时符合条件的映射有4个. 　　（ iii ）当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0,1} 　　{-1,0,1}: 0=1+(-1), 0=(-1)+1 　　∴此时符合条件的映射f有2个 　　于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为7. 　　(2)分类讨论:以象集合中元素的个数(从小到大)为主线展开讨论. 　　(i)当象集合为单元素集时,象集为{6}或{7}或{8},故此时满足条件的映射f有3个; 　　(ii)当象集合为双元素集时,先将A中元素分为两组,有 种分法,又每两组的象有3种情形,故此时符合条件的映射f有 3=12个; 　　(iii)当象集合为三元素集时,先将A中元素分为3组,有 种分法，又每三组的象只有1种情形,故此时符合条件的映射f有 1=6个。 　　于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为3+12+6=21. 　　点评:在认知f(λ)(λ∈A)的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用方法(通性通法),请同学们在今后的解题中注意应用. 　　例6. 已知函数f(t)对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2. 　　(1)求f(1)的值; 　　(2)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由. 　　分析:这是未给出具体的函数解析式,只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性,循着“一般”与“特殊”之间的辩证关系,想到从“特殊”(特殊取值或特殊关系)入手去破解“一般”,以寻出目标. 　　解: (1)为了出现f(1),在上述恒等式中令x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1)　　① 　　又令x=0,y=0得f(0)=-1　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　② 　　令x=-1,y=-1得　　 f(-2)=2f(-1)+2　　　　 　　∵f(-2)=-2,　　 ∴f(-1)=-2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③ 　　∴将②、③代入①得f(1)=1. 　　(2)为利用f(1)=1,在上述恒等式中令x=1得 　　f(y+1)=f(y)+y+2f(y+1)-f(y)=y+2 　　∴当t∈Z时,有f(t+1)-f(t)=t+2　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　④ 　　根据④,运用阶差法得 　　f(t)=f(1)+[f(2)-f(1)]]+…+[f(t)-f(t-1)] 　　∴f(t)=1+(1+2)+(2+2)+…+[(t-1)+2] 　　=1+2(t-1)+ 　　即f(t)= 　　∴f(t)=t 　　 t2+t-2=0 　　 (t-1)(t+2)=0 　　 t=1或t=-2 　　于是可知,满足f(t)=t的整数t只有两个:t=-2,t=1. 　　点评: 函数f(x)当x取正整数时的问题，即为数列问题.所以,这里运用(或借鉴)了数列求和的思想或方法(阶差法或分项法).看透问题,把握本质,解题时方能联想顺畅,入手准确.这是我们始终所追求的境界. 　　五. 高考真题 　　(一)选择题 　　1.(2005湖北卷) 在y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x这四个函数中,当0g(x)时,求函数 的最小值. 　　分析:对于(1),注意到k、b含在f(x)的解析式中,故从探求A、B点坐标切入,利用 = 建立方程或方程组;对于(2),则要注意立足于不等式f(x)>g(x)的解集，探求所给函数的最小值. 　　解: (1)由已知得A(- ,0),B(0,b),从而 =( ,b)、又 =(2,2),故得 　　∴所求k=1,b=2. 　　(2) f(x)>g(x) x+2>x2-x-6 x2-2x-8<0 -21,解关x的不等式 . 　　分析: 对于(1),从已知方程的实根入手推理.对于(2),则要注意求解分式不等式的基本过程:移项—通分—分解因式—转化(为整式不等式)—求解.这是解决这类问题的规范性、完整性以及完解完胜的基础与保障. 　　解: 　　(1) f(x)-x+12=0 -x+12=0 　　将x1=3,x2=4代入方程得 　　解得 　　∴f(x)= 　　(2)原不等式 f(x)- 　　 　　 (2-x)[ ]<0 　　 (x-2)(x-1)(x-k)>0　　　　　　　　　　　　 ※ 　　(I) 当12; 　　(II)当k=2时,由(※)得(x-2)2(x-1)>0 12; 　　(III)当k>2时,由(※)得1k. 　　于是可知,当12时, 原不等式的解集为(1,2)∪(k,+∞). 　　点评:本题突出考察分类讨论与数形结合的思想.在解高次不等式时,若采用“根轴法”，则可使解答更为快捷准确,请同学们一试. 　　4.(2005上海卷) 对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x), y=g(x),规定:函数 　　 　　　　 　　(1) 若函数f(x)= ,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式; 　　(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域; 　　(3) 若g(x)=f(x+ ),其中 是常数,且 ∈ ,请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个 的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明. 　　分析: 对于(1),注意到h(x)为分段函数,探求函数解析式要立足于“分段探求,综合结论”的基本策略.对于(3),这里g(x)=f(x+ ),又注意到在大前提中h(x)的表达式以及此时f(x),g(x)的定义域均为R,可得h(x)=f(x) f(x+ ),又h(x)=cos4x,于是可由f(x) f(x+ )=cos4x入手展开联想与探求,这里的探求自然是从cos4x的“一分为二”的变形入手. 　　解: 　　(1)这里Df=(-∞,1)∪(1,+∞)　　 Dg=R 　　∴当x∈Df且x∈Dg,即x∈(-∞,1)∪(1,+∞) 时， ; 　　当x Df且x ∈ Dg,即x=1时,h(x)=g(x)=1; 　　又x∈Df且x Dg的x不存在,故得 　　(2)当x≠1时, =(x-1)+ +2 　　∴若x>1, 则x-1>0, h(x)≥4,当且仅当x=2时等号成立; 　　若x<1, 则 x-1<0, 故有h(x)≤0, 当且仅当x=0时等号成立. 　　又当x=1时,h(x)=1. 　　∴函数h(x)的值域为 ∪{1}∪ . 　　(3)由题意得h(x)=f(x) f(x+ )　　　　　　　　　　 　① 　　又注意到cos4x=cos22x-sin22x 　　=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x) 　　=(cos2x+sin2x) 　　　　② 　　∴由①、②知, 令f(x)= cos2x+sin2x (x∈R) = 　　则有g(x)= f(x+ )= 　　= cos2x－sin2x　　 　　于是有 h(x)=f(x) f(x+ )=( sin2x + cos2x)(cos2x-sin2x) 　　= cos22x-sin22x=cos4x. 　　点评: 　　 　　(I) 对于 (1),务必要注意逐段考察, 不可忽略f(1)=1. 　　(II) 既要注意(3)中g(x)=f(x+ ),又要注意大前提下的h(x)的表达式,双方结合推出h(x)=f(x) f(x+ ).至此,解题的难点得以突破,问题便归结为将cos4x化为互有关联的两式之积的三角变换. 　　5.(2004上海卷) 已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x) 　　(1)求函数f(x)的表达式; 　　(2)证明: 当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解. 　　分析: 由于二次函数与反比例函数的形式确定,故运用“待定系数法”探求f1(x)与f2(x);对于(2),当对方程f(x)=f(a)直接求解感到困难时,要想到运用数形结合思想,适时转化为两个函数图象的交点问题. 　　解: 　　(1)由题意设f1(x)=ax2, f2(x)= (k>0), 　　由f1(1)=1得a=1,故f1(x)=x2 　　又y=f2(x)的图象与直线y=x的交点分别为A ,B ,则由|AB|=8得k=8,故f2(x)= 　　　　　　∴ f(x)=x2+ 　　(2) 　　证法一: 由f(x)=f(a)得x2+ = =－x2+ 　　在同一坐标系内作出f2(x)= 与f3(x)= －x2+ 的大致图象,注意到f2(x)= 的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)= －x2+ 的图象则是以点(0, )为顶点,开口向下的抛物线.因此f2(x)= 与f3(x)= －x2+ 的图象在第三象限有一个交点, 　　即f(x)=f(a)有一个负数解.　　　　 　　　　　　　　　① 　　又∵f2(2)=4, f3(2)= -4　　　　　　　　　　　　　　　　 　　∴当a>3时, f3(2)－f2(2)= -8>0, 　　∴当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2, f3(2))在y=f2(x) 图象的上方. 　　∴y=f2(x)与y=f3(x)的图象在第一象限有两个交点. 　　即方程f(x)=f(a)有两个正数解.　　　　　　　　　　 　② 　　于是由①、②知,当a>3时,方程f(x)=f(a)有三个实数解. 　　证法二: 由f(x)=f(a)得x2+ = (x-a)(x+a- )=0 　　∴x=a为方程f(x)=f(a)的一个实数解.　　　　　　　　 　　　　　① 　　又方程 x+a- =0可化为ax2+ －8=0　　　　　　 　　　　　② 　　由a>3得方程②的判别式Δ=a4+32a>0 　　∴由②解得x2= ,x3= 　　∵x2<0. x3>0,　　 ∴x1≠x2 且x2≠x3　　 　　　　　　　　　　③ 　　此时,若x1= x3,则有a= 3a2= a4=4aa=0 或 a= 　　这与a>3矛盾,故有x1≠ x3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④ 　　于是由①、③、④知,原方程有三个实数解. 　　点评:以上两种解法各有短长.解法一转化为两个函数图象的交点问题,显直观灵活,但本题的求解头绪较多且比较隐蔽;解法二立足于求解方程,感觉踏实稳健,但有时会招致复杂的运算.对于所给相关问题究竟选择哪一种解法为上,则要具体情况具体分析,不可一概而论.