高中数学同步专题-空间点线·线线·线面的位置关系.doc

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高中数学复习------空间点线线线线平面的位置关系 一 知识要点 1点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内，记作. ◆公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 （即直线在平面内，或者平面经过直线） 直线l在平面α内，记作lα。 用符号语言表示公理1： ◆公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论;两条平行直线确定一个平面。 ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。 符号语言： ◆过空间三点可确定 平面；过两平行线可确定 平面；过一条直线和直线外一点可确定 平面. 2. 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线. 3. 异面直线所成的角（或夹角）：过空间任意一点作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角或直角。 当异面直线所成的角为直角时称这两条异面直线互相垂直。 4.空间两条直线的位置关系： 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两角相等。 等角定理的推论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 5直线和平面平行定义：直线和平面没有公共点。 6直线和平面的位置关系： 直线在平面内 ‚相交 ƒ平行； 三种位置关系的符号表示： aα a∩α＝A a∥α （后两个统称为aα） 二 典例分析 题型一 线共面问题 例1 求证：两两平行的三条直线如果都与第四条直线相交，那么这四条直线共面 练习1 求证：两两相交且不共点的四条直线共面 题型二 点与线问题 例2 （1）空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么四点中（ ） A、 必有三点共线 B、 必有三点不共线 C、 至少三点共线 D、 不可能有三点共线 (2)下面给出四个条件：① 空间三个点；② 两两相交的三条直线；③ 一条直线和一个点；④ 和同一条直线相交的两条直线。其中能确定一个平面的条件有 个。 （3）若是平面外一点，则下列命题正确的是（ ） （A）过只能作一条直线与平面相交 （B）过可作无数条直线与平面垂直 （C）过只能作一条直线与平面平行 （D）过可作无数条直线与平面平行 图2.3 （4) O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1.B1.A作一个截面， 求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上. 题型三 空间直线的位置关系线问题 例3 （1）直线及平面，使成立的条件是（ ） A． B． C． D． （2)有下列命题① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与平行 其中假命题的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型四 等角定理的运用 例4 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点 （1） 求证：E,F,G,H四点共圆 （2）若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD 练习 (1)已知正方形A1B1C1D1点E,E1，F分别是棱AD，A1D1,BC的中点， 求证: （1）E1C1平行且等于AF (2)∠BEC=∠B1E1C1 题型五 求异面直线所成的角 例5 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．求异面直线与所成角的余弦值； 练习 已知三棱锥A-BCD的各条棱都相等，M,N分别是BC,AD的中点。求异面直线MN与BD所成的角 题型六 空间直线与平面的位置关系问题 例5 （1）E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2）若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（ ） A．内的所有直线与m异面 B．内不存在与m平行的直线 C．内存在唯一的直线与m平行 D．内的直线与m都相交 （3）如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是 ①②③④ （4） 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G分别是AA1， CD，CB，CC1的中点。 求证：（1）MN//B1D1 ；（2）AC1//平面EB1D1 ； （3）平面EB1D1//平面BDG. 练习 （1）在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________. （2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD中点，则BD1和平面ACE位置关系是 (3)如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点.求证：平面. 课后巩固 1．(人教A版教材习题改编)下列命题是真命题的是(　　) A．空间中不同三点确定一个平面 B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点能确定一个平面 D．梯形一定是平面图形 2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)． A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 3．(2011浙江)下列命题中错误的是(　　)． A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面 D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 4．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线(　　)． A．12对 B．24对 C．36对 D．48对 5、（2011四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 6、过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　　)． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由． 8、正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．