工程数学(本)电子导学教案.doc

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工程数学（本）电子导学教案 土木工程专业（专升本） —大连广播电视大学理工系数学教研室 该课程课内72学时，每周课内4学时。 第1周 题目：阶行列式 摘要：行列式定义、性质、计算、克莱姆法则 要求：理解行列式定义，掌握行列式性质，知道克莱姆法则 重点：行列式的计算 过程：一、行列式定义 通过回头消元法解二元一次议程组和引例给出二阶行列式定义1.1。注意行列式元素的代数余子式中是元素的余子式。演练例2（课外看例3）巩固行列式的定义。 课外练习1.1—1，3，5。 二、行列式性质 通过简单（低阶）举例，给出性质1—性质7，其中例2、4、6在课内演练（例1、3、5课外看），巩固行列式定义和性质。 课外练习1.2—1（1）（3）（5） 三、行列式计算 1、用行列式定义。通过例1演练，指出此法是在选择零最多和行（列）的低阶行列式展开。 2、用行列式性质。通过例2演练，指出此法上把行列式化成三角形再计算。 3、综合法。通过例3演练，指出此法是把行列式定义和性质结合起来，即根据行列式特点进行计算。 课外练习1.4—1（1）（3）（5）、3（1） 四、克莱姆法则 通过加减消元法解二元一次方程组的引例给出解的表达式（6）这种方法叫做克莱姆法则（教材1—3页），对19页线性方程组（1）用克莱姆法则解的表达式在20页第2行。再演练21页例1巩固克莱姆法则。 课外练习1.3—1。课外看学习指导（34—39），做习题1—1（1）、2、5。完成自我测试题，本章解题方法归类查网上复习指导的附件一。 第2周 题目：矩阵 摘要：矩阵的概念、运算、特殊矩阵、阶方阵的行列式，可逆矩阵。 要求：知道矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算及其性质，了解特殊矩阵的定义和性质，理解可逆矩阵和概念，会用伴随矩阵法，掌握矩阵可逆的充分必要重要条件。 过程：一、矩阵的概念 行列矩阵的定义2.1，行（列）矩阵，阶（方）矩阵，零矩阵，同型矩阵，负矩阵，单位矩阵I。 二、矩阵的运算 1、矩阵相等和定义2.2，演练例1。 2、矩阵的加法定义2.3，演练例2，指出加法运算律（47页）。 3、数与矩阵的乘法定义2.4，演练例4，指出数与矩阵的运算律以及单位矩阵数量矩阵的关系（48—49页）。 4、矩阵乘法定义2.5，演练例6。通过例8和例9，指出矩阵乘法的运算率，注意他一般不满足交换率以及某些错误结论（52页11—14行），定义矩阵乘幂运算及其运算率在53页。 5、矩阵的转置定义2.6及运算率（54页），演练例10，其他例自看。课外练习2.2—1（1）（3）（5）、2、3、4、5。 三、特殊矩阵 1、对称矩阵定义2.7，及运算性质（1）—（9），演练例1，教材57—59页。 2、三角矩阵定义2.8及运算性质（60页第6—7行）。 3、对称矩阵定义2.9及其运算性质（61页7—13行），演练例2，课外练习2.3—2、3、4、5。 四、阶方阵的行列式 1、阶方阵的行列式定义2.10演戏例1。 2、阶方阵乘积行列式定理2.1，及推论，演练例2。 注意：一般，。 课外练习2.4—1、2、3、4。 五、可逆矩阵 1、逆矩阵定义2.11及其性质（1）—（5），演练例1，记住例2、例3解法。 2、矩阵可逆的充分必要条件（定理2.4）。 3、伴随矩阵定义2.12，演练例5。 4、伴随矩阵法求逆阵，演练例9。 课外练习2.5—1、3（1）（3）（5）、4、5、6。 第3周 题目：矩阵（续） 摘要：矩阵的初等行变换、矩阵的秩、分块矩阵。 要求：理解矩阵的初等行变换、熟练掌握用矩阵的初等行变换求逆矩阵的方法，理解矩阵秩的概念，会求矩阵和秩，知道分块矩阵的概念，会进行分块矩阵的运算。 重点：用矩阵的初等行变换法求其逆矩阵。 过程：一、矩阵的初等行变换和初等矩阵。 1、矩阵的初等行变换定义2.13，定理2.7和推论（82页），演练例1。 2、初等矩阵定义2.14。 3、用初等行变换求逆矩阵，演练例2。 课外练习2.6—1（1）（3）（5）、2、3。 二、矩阵的秩 1、矩阵的阶（非零）公式定义2.15，矩阵的秩定义2.16。演练例1。 2、矩阵的秩的充要条件定理2.8和定理2.10，演练例3、例5。 课外练习2.7—1（1）（3）、2、3。 3、矩阵性质定理2.9和定理2.11。 三、分块矩阵 1、分块矩阵概念（98页）。 2、分块矩阵的运算—加法、减法、乘法、转置。演练例2、例3、例5。 课外练习2.8—1（1）、3、4。课外看学习指导（111—125页）做习题2—4、5、6（2）、7、8，完成自测题1，完成形成作业1。本章题解方法归类查网上复习指导的附件一。形成作业的题解思路查网上复习指导的附件二，以下同。 第4周 题目：线性方程组 摘要：高斯消元法解线性方程组，线性方程组的相容性。 要求：掌握高斯消元法解线性方程组，理解线性方程组的相容性定理。 重点：高斯消元法解线性方程组 过程：一、高斯消元法解线性方程组 1、高斯消元法解线性方程组的定理3.1和步骤（教材138页）。 2、演练例1、例2 课外练习3.1—6、7、8。 二、线性方程组的相容性 1、线性方程组的相容性定理3.2和3.3及推论（144页）。 2、演练例1、例2 课外练习3.2—1、3、5、6（1）。 第5周 题目：向量（矢量）代数 摘要：维向量，向量组相容性，向量组的极大无关组 要求：掌握向量的线性运算，理解向量组线性相关与线性无关的概念，理解向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关组，了解向量组的秩与矩阵的秩和联系。 重点：向量组相关性求向量组的秩和向量组的极大无关组。 难点：向量组的相关性以及有关命题的讨论和证明。 过程：一、维向量 1、维向量定义3.1（148页）。 2、维向量组的线性组合定义3.2（151页）及向量线性表示命题（153页）。演练例1（结论记住）、例2、例3（结论记住）、例4（方法记住）。课外练习3.3.1—2、3（3）、4（1）。 3、向量组的线性相关性定义3.3（），演练例6、例7两例结论要记住。 4、向量组线性相关充分必要条件定理3.6及推论（161页线性无关的充要条件），演练例8（1）（2），例9。 课外练习3.3.2—1（3）（4）、2、5。 二、向量组极大无关性与向量组的秩 1、向量组的极大无关组定义3.4及其性质定理3.7和定理3.10，演练例2。 2、向量组的秩定义3.5与矩阵秩的关系定理3.9，演练例5、例6。 课外练习3.4—1（2）、2、4、5、6。 第6周 题目：线性方程组解的结构 摘要：齐次线性方程组解的结构，非齐次线性方程组解的结构。 要求：理解齐次方程组有非零解的充分必要条件。理解基础解系的概念。掌握齐次线性方程组全部解的求法。理解一般线性方程组解的结构，熟练掌握求非齐次线性方程组全部解的方法。 重点：齐次线性方程组的基础解系，一般方程组的通解。 过程：一、齐次线性方程组解的结构 1、齐次线性方程组解的结论（1）—（6）和性质（1）（2），教材174—175页。 2、齐次线性方程组的基础系定义3.6和求法步骤（1）—（4），教材176—177页，演练例1、例2。 课外练习3.6.1—1（2）（4）。 二、非齐次线性方程组解的结构 1、非齐次线性方程组解的结论（1）—（5）和性质（3）（4），教材182—184页。 2、非齐次线性方程组的解与对应的齐次线性方程组的解的关系定理3.11。 3、求非齐次线性方程组的通解步骤（1）—（4），教材183—184页。演练例3、例4。课外练习3.6.2—（1）（3）（5）、2、3（1）。课外看学习指导，做习题3—1、4（1）、5（1），完成自我测试题。 第7周 题目：矩阵的特征值 摘要：方阵和特征值与特征向量，相似矩阵和矩阵对角化。 要求：理解矩阵特征值、特征向量的概念，掌握特征值与特征向量的求法；了解矩阵相似的定义和相似矩阵的性质。 重点：求方阵和特征值与特征向量 过程：一、方阵的特征值与特征向量 1、特征值与特征向量的定义4.1及其求法（220页），演练例1。 2、关于特征值、特征向量的结论1—4，教材223—224页，例3推论记住。演练例4、例5、例6。 课外练习4.1—1（3）（5）、3、4选、5选。 二、相似矩阵和矩阵对称化 1、相似矩阵的定义4.2和性质定理4.1。 2、矩阵对角化充要条件定理4.2，演练例2，课外练习4.2—1（2）（3）2、3、4。 第8周 题目：二次型 摘要：实对称矩阵对角化，二次型及标准化，正定二次型。 要求：实对称矩阵对角化的方法理解二次型的定义，二次型的矩阵表示；了解二次型的标准形及其矩阵描述圆满完成掌握用配方法化二次型为标准型的方法；了解正定矩阵的概念；掌握正定矩阵的判定。 重点：用配方法化二次型为标准型 难点：求使方阵对角化的相似正交变换矩阵。 过程：一、实对称矩阵对角化 1、实对称矩阵与特征值和对角化关系定理4.3，演练例1。 2、正交矩阵的定义4.7()和性质（例4），演练例3。 3、相似正交变换 （1）实对称矩阵的不同特征值的特征向量关系定理4.4； （2）向量组（线性无关）的正交规范化，演练例5； （3）求正交相似变换矩阵，演练例6。 课外练习4.3—1（1）、2（1）、3（3）（4）。 二、二次型及其标准形，正交二次型 1、二次型表示式（1）—（5）为其标准形。 2、化二次型为标准形的定理4.5。 3、用配方法化二次型为标准型，演练例1、例2。 4、惯性定理4.6与惯性正（负）指数，二次型秩、符号差定义4.8，演练例3。 5、正交二次型定义4.9与等价定理4.7及判定定理4.8，演练例4、例5。 课外练习4.4—1（1）（2）、2（2）、3（2）（3）、4（1）。课外看学习指导，做习题4—3、4、5、7选，完成自我测试题。 第9周 题目：线性代数习题课 摘要：矩阵方程、矩阵证明、向量组相关性证明等。 要求：能运用所学知识证明简单命题，具有一定逻辑推理能力。 重点：对形成作业的要求和指导。 过程：略。 附注：本周末把形成作业1和2交给辅导老师批改。 第10周 题目：随机事件与概率 摘要：随机事件、随机事件概率 要求：了解随机事件、频率、概率等概念，掌握随机事件的运算，掌握概率的基本性质，了解古典概率的条件，会求 简单的古典概型问题。 重点：事件间的关系及其运算性质，古典概率定义和计算公式。 难点：古典概型问题。 过程：一、随机事件 1、随机现象与随机事件，演练例1、例2、例3。 2、事件间地关系：包含与相等，事件的和，事件的积，事件的差，互斥事件，对立事件，完备事件组。演练例4、例5、例6、例7、例8、例9、例10。 3、事件间地关系和运算性质1—6，演练例11、例12。课外练习1.1—1、2、3（1）（3）（5）、4（1）（3）（5）。 二、随机事件的概率 1、概率的统计定义1.1和性质1、2、3，演练例1。 2、概率的古典定义1.2，演练例2、例3、例4。 3、排列与组合及其举例（学生课外看）。 课外练习1.2—2（1）（3）（5）、3、4、5。 第11周 题目：随机事件概率的计算 摘要：两种加法公式、条件概率、乘法公式，全概率公式。 要求：熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率的全概公式，理解独立性概念，掌握伯努利概型。 重点：加法公式、乘法公式、事件独立性。 难点：条件概率及其计算。 过程：一、随机事件概率的计算 1、狭义加法公式（定理1.1）及推论1.2，演练例1（例2课外看）。 2、广义加法公式（定理1.2），演练例3（例4课外看）。 3、条件概率定义1.3，演练例5、例6（例7课外看）。 4、乘法公式（定理1.3），演练例8（例9课外看）。 5、全概公式（定理1.4），演练例10、例11、例12、例13。 课外练习1.3—1、3、5、7、9。 二、伯努利概型 1、两事件独立定义1.4和独立充要条件定理1.5，演练例1、例2、例3。 2、两事件独立等价定理1.6和多个事件独立定义1.5及其性质（1）（2），演练例4。 3、伯努利概型（43页1—5行），演练例5、例6、例7。 课外练习1.4—1、2、4。看学习指导。做习题2—2、4、6、8、13、16。完成自我测试题。本章解题方法归类查网上复习指导的附件一，以下同。 第12周 题目：随机变量及其分布 摘要：随机变量概念及分类，随机变量分布函数与随机变量函数分布。 要求：理解随机变量的概率分布，概率密度概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算。 重点：随机变量分布类型及其性质，随机变量分布函数。 难点：求随机变量函数的概率密度。 过程：一、随机变量的概念通过演练例1、例2、例3给出随机变量概念及其分类。 二、离散型随机变量 定义2.1和性质1.2，演练例1、2、4。 三、连续型随机变量 定义2.2和性质1.2，演练例5、例6。 四、分布函数 定义2.3和性质1、2、3，演练例7、例8、例9。 分位数概念在80页下半部。 五、随机变量函数的分布 定义在81页上半部，演练例10、例11。 课外练习2.1—1-7。 第13周 题目：随机变量数字特征 摘要：随机变量的数学期望方差及其性质，几种重要分布及其数学特征。 要求：了解期望、方差与标准差概念，掌握求期望、方差与标准差的方法，熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差，会查正态分布表。 重点：随机变量的数学期望、方差及其性质，二项分布和正态分布。 过程：一、随机变量的数字特征 1、离散型随机变量的数学期望定义2.4，演练例1。 2、连续型随机变量的数学期望定义2.5，演练例2。 3、随机变量方差定义2.6及常用计算公式（2.2.3），演练例3、4、5。 4、期望和方差性质1、2、3，演练例6。 5、矩的定义2.7及表2-1；阶原点矩和阶中心矩的计算公式。 课外练习2.2—1、2或3、4、6（选）。 二、几种重要分布及其数字特征 1、几种重要离散型随机变量分布二点分布、二项分布、泊松分布，演练例3、例4。 2、几种重要连续型随机变量分布，均匀分布、指数分布、正态分布，演练例5、例6、例7、例8。 3、正态标准化定理2.1，演练例9、例10、例11。 4、重要分布的数字特征在105—106页。 课外练习2.3—1或2、4或5、7、8、9。 第14周 题目：二维随机变量 摘要：二维随机变量及其分布函数、独立性，函数期望公式，协方差与相关系数，中心极限定理。 要求：知道二维随机变量及其联合分布，边缘分布等概念，了解随机变量独立性概念，了解二维随机变量期望、方差、协方差、相关系数等概念。掌握两个随机变量的期望、方差及其有关性质。 重点：二维随机变量独立性、协方差与相关系数。 难点：联合分布与边缘分布 过程：一、二维随机变量及其分布函数 1、二维变量定义2.8和分布函数定义2.9。 2、二维离散型随机变量定义2.10和二维连续型随机变量定义2.11。 二、二维随机变量的独立性 1、二维随机变量相互独立和定义2.1和条件公式(2.4.4)，（2.4.5）。 2、维随机变量相互独立的定义2.13。 三、两个随机变量的函数的期望公式 1、两个随机变量的函数的期望公式(2.4.6)及其性质1、2、3，演练例1。 2、两个随机变量的协方差定义2.14的相关系数定义2.15，演练例2。 课外练习2.4—1、3。 四、中心极限定理 1、切比雪夫不等式（定理2.2），演练例1。 2、奇数个随机变量相互独立定义2.16。 3、大数定律（定理2.3）和伯努利大数定律（定理2.4）。 4、中心极限定理2.5和2.6，演练例2。 课外练习2.5—1、2（1）。看学习指导，做习题2—2、3、4、5、7、8，完成自我测试题，完成形成作业3。本章解题方法归类查网上复习指导附件一，形成作业解题思路查网上复习指导的附件二。 第15周 题目：数理统计的基本概念 摘要：统计量和抽样分布。 要求：了解总体、样本、统计量的概念、抽样分布概念。 重点：统计量、分布，分布。 过程：一、总体的样本 通过例1、例2去理解总体和样本的概念，在143页下半部。 二、统计量 通过举例去理解统计量定义3.1。 三、样本矩 样本均值、样本方差、阶样本原点矩，阶样本中心矩。 课外练习3.1—1、2。 四、抽样分布 1、分布定义3.2，临界值概念，相关定理3.1，定理3.2。 2、分布定义3.3，临界值概念，相关定理3.3，定理3.4。 3、分布定义3.4，临界值概念，相关定理3.5。 课外练习3.2—1、2。 第16周 题目：参数估计 摘要：点估计、区间估计。 要求：知道点估计、区间估计的概念，了解评价估计量的两个标准，掌握知估计法和极大似然估计法，会对正态分布的期望和方差进行区间估计。 重点：极大似然的点估计法，对正态分布期望的区间估计。 过程：一、参数的点估计 1、矩估计法—用样本矩去估计总体矩，演练例1、2、3。 2、极大似然法步骤，演练例4、5、6。 3、无偏估计定义3.5和有效性定义3.6。演练例7、8。 课外练习3.3—1、2、4。 二、区间估计 1、置信度、置信区间定义3.7。 2、正态总体数学期望的区间估计 （1）已知方差，对期望进行区间估计，演练例2； （2）未知方差，对期望进行区间估计，演练例3； 3、正态总体方差的区间估计，演练例4。 课外练习3.4—4、5。 第17周 题目：假设检验 摘要：正态总体期望和方差检验，最少二乘法 要求：理解假设检验和最少二乘法的基本思想，会对正态总体的期望和方差的假设检验，会回归分析。 重点：正态总体期望的假设检验。 过程：一、假设检验问题 1、假设检验概念、拒绝域，显著性水平。 2、小概率原理和显著性水平的统计意义。 3、假设检验的步骤。 二、正态总体的假设检验问题 1、检验法（已知） （已知），（已知）。检验量，拒绝域是，演练例2、例3。 2、检验法（未知） 检验量，拒绝域是，演练例5。 3、检验法（未知） （已知）， 检验量，拒绝域是或，演练例7、8。 课外练习3.5—1、2、6。 三、的回归分析 1、回归的概念，设直线方程（3.6.1） 2、回归方程（最少二乘法）（3.6.5） 其中（3.6.4），而 ，演练例1。 3、检验：统计量，临界值,若，则回归效果显著，而回归直线方程是有意义，若，则回归效果不显著，而回归直线方程没有意义的。其中，而演练例1。 4、预测：，作为的无偏估计，或用去估计。用原则化零估计值落在区间的概率为0.99和值落在区间的概率为0.95。演练例2。 课外练习3.6—1、3。习题3—1、2、3、4、5，自测题，形成性作业4（至本周末交到辅导老师批改）。 附注：本章题解方法归类查网上复习指导的附件一，形成作业4的解题思路查网上复习指导的附件二。 第18周 题目：复习备考指导课 摘要：中央电大考试中心，中央电大师范部《工程数学》期末复习指导，大连广播电视大学理工系数学教研室《工程数学》期末复习指导。 重点：基本概念、基本公式、基本计算，基本应用 过程：略。 第19—20周 学生全面系统复习，迎中央电大统一考试。 相关教材练习、习题、自我测试题，形成作业的解题方法和思路，参考网上复习指导的附件一、二。近期试题及解查网复习指导的附件三。