微积分学中辅助函数的构造探索总结.doc

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微积分学中辅助函数的构造探索总结 邱烨，高战，高亚茹 中国矿业大学计算机科学与技术学院，徐州(221008) 摘 要：构造辅助函数是数学分析中解决问题的重要方法，在解决实际问题中有广泛应用．通过研究微积分学中辅助函数构造法，构造与问题相关的辅助函数，从而得出欲证明的结论．本文介绍了构造辅助函数的概念及其重要性，分析了构造辅助函数的原则，归纳了构造辅助函数的几种方法，并研究了构造辅助函数在微积分学中的重要作用和应用技巧。 关键词：微积分 辅助函数 中值定理 0引 言 当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数．辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方法，在数学分析中具有广泛的应用．构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解． 微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法．通过查阅现有的大量资料发现，现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多，其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路，但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用． 通过构造辅助函数，可以解决数学分析中众多难题，尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果． 1. 构造辅助函数的原则 构造辅助函数把复杂的问题转化为已知的容易解决的问题，这是微积分中的一种重要解题方法，为了更好地掌握此方法，我们通过对微积分学中的一些问题的分析，探讨构造辅助函数的两个原则． 1.1将未知化为已知 在微积分学中许多命题的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成． 比如，下面例1.1的证明就是对连续函数的性质进行分析，构造辅助函数，转化为利用已知的零点定理加以证明． 例1.1[1] 设在上连续，且，求证：，使． 证明 作辅助函数，， 则由在上连续知在连续， 因为，所以， (1 )若，则取或即可． (2)若，则，由零点定理知，使，即． 1.2将复杂化为简单 一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形，由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的，这种通过巧妙的数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，是微积分学中的重要而常用的数学思维方式．例如下面例1.2的证明中，可先做一次恒等变形，即将证明的结论变形为： 直接思考哪个函数求导后为，发现不易找到这个函数．进一步考虑除以一个非零因子，不难发现所证结论可变形为 因此，找到了辅助函数． 例1.2[2] 设，都在上连续，在内可导，且 ，， 求证：在内存在一点，使得． 证明 作辅助函数， 因为，都在上连续，在内可导， 所以有在上连续，在内可导，且显然有， 由罗尔定理可知，在内存在一点使得， 即．命题得证． 总之，在利用构造辅助函数解决命题的过程中，考虑将未知化为已知，将复杂化为简单，将两点融合在解题过程中．在下文研究中几乎都能体现到这两点的融合。 2. 构造辅助函数的方法探讨 用辅助函数解决数学问题，是高等数学中常用的方法之一，如果能用好辅助函数，则轻而易举就能给出证明过程．为了更好地利用辅助函数，在此给出几种寻求辅助函数的常见方法． 2.1原函数法 在利用微分中值定理求解介值问题时，要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点，因此可通过不定积分求出原函数作为辅助函数，其步骤可以总结如下： (1)将欲证的结果中的换成； (2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号形式； (3)用观察法或积分法求出原函数，为简便积分，常数取作零； (4)移项使式子一边为0，则另一边即为所求的辅助函数． 例2.1[3] 函数和在闭区间上存在二阶导数，，并且，求证：在开区间内至少存在一点，使成立． 分析 题中的结论相当于证明 用替换，得，积分后得 即 由此联想到构造辅助函数． 证明 作辅助函数， 则在上连续，在内可导，且， 由罗尔定理知，存在一点，使得， 即．从而得出． 例2.2[4] 设，在上二阶可导，且，，求证：存在一个，使得 ． 分析 题中结论相当于证明 用替换得 积分后得 得辅助函数 ． 证明 作辅助函数 显然在上连续，在内可导， 又 可知满足罗尔定理的条件，于是存在，使， 即 故 ． 例2.3[5] 设在上连续，在内可导，则在内至少存在一点使． 分析 本题要证明，即证：至少存在一点，使，用替换得，积分后得辅助函数． 证明 作辅助函数 则在上连续，在内可导，且 所以 ． 根据罗尔定理可知，至少存在一点使，即 ． 2.2常数值法 常数值法适用于常数部分可分离出的命题，其构造辅助函数的步骤如下： ①将常数部分令作； ②作恒等变形，使等式一端及构成代数式，另一端及构成代数式； ③分析关于端点的表达式是否为对称式，若是，只要将端点(或)改成，相应的函数值(或)改成，则变量后的端点表达式即为所求的辅助函数． 例2.5[6] 设，在上连续，在内可导，求证：存在一个，使得． 分析 令常数部分为， 即 作恒等变形 (2.1) 显然式(2.1)为对称式，从而得到辅助函数． 证明 作辅助函数， 由题设条件可知在上连续，在内可导，又 可见在上满足罗尔定理的条件，于是存在，使得，即 ． 2.3参数变易法 此法适用于不等式的证明，直接把要证明的结论中的某个参数“变易”为变量，从而构造出相应的辅助函数．最终一般都是利用该辅助函数的单调性完成证明． 例2.6[7] 设在上二阶可导，且，求证： ． 证明 将结论中的参数变易为变量，得辅助函数 则，因为在上二阶可导，且，故 即在上单调递增，所以对于，都有，特别地，我们有，即 ． 3. 辅助函数在微积分学中的应用分析 罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，积分中值定理是微积分学中的重要内容，这些定理贯穿了微积分学的始终，利用它们证明有关命题，往往需要构造辅助函数，便可以把微积分学中较难的问题转化为易解决的问题，下面将举例说明辅助函数在解决微积分学问题中的应用． 3.1辅助函数在罗尔(Rolle)定理中的应用 微分中值定理中的罗尔定理是高等数学中的一个重要内容，因为它的应用非常广泛，而构造辅助函数是解决罗尔定理问题的最主要的方法．若辅助函数构造的合理巧妙，满足定理的三个条件，则问题很快就能迎刃而解． 3.1.1推广的罗尔定理及其证明 罗尔定理： 若函数满足如下条件： (1)在闭区间上连续； (2)在开区间内可导； (3)； 则在内至少存在一点，使得. 推广的罗尔定理 设函数满足条件： (1)函数在开区间内可微； (2)； 则在内至少存在一点，使． 证明 不妨设，作辅助函数 ，，所以由的构造可知，在上连续，从而满足罗尔定理的条件 即(1)在闭区间上连续； (2)在开区间内可导； (3)； 则在内至少存在一点，使得．证毕． 3.1.2构造辅助函数利用罗尔定理解决问题举例 例3.1[8] 设，，在上连续，在内可导．求证：存在，使得 ． 证明 利用原函数法构造辅助函数 则在上连续，在内可导，，应用罗尔定理可知存在，使得，据行列式性质知 所以 ． 例3.2[2] 设，在上连续，在内可导，且，．求证：在与之间存在一点，使． 证明 利用原函数法构造辅助函数，，则显然有在上连续，在内可导，且. 由罗尔定理知使得， 即．命题得证． 就高等数学而言，罗尔定理的主要作用是来证明拉格朗日中值定理与柯西中值定理．接下来本文将通过构造辅助函数，利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理解决问题． 3.2辅助函数在拉格朗日(Lagrange)中值定理中的应用 3.2.1拉格朗日中值定理及其证明 拉格朗日中值定理： 若函数满足如下条件： (1)在闭区间上连续； (2)在开区间内可导； 则在内至少存在一点，使得． 证明 利用常数值法构造辅助函数，令，则 作辅助函数，则显然有． 又因为在闭区间上连续，在开区间内可导， 所以显然有满足罗尔定理的条件： (1) 在闭区间上连续； (2)在开区间内可导； (3)； 所以在内至少存在一点，使得，即． 从而．定理得证． 3.2.2构造辅助函数利用拉格朗日中值定理解决问题举例 例3.3[9] 证明对一切，，成立不等式． 证明 构造辅助函数， 则由拉格朗日中值定理可得 ，， 当时，由可推知 ，， 当时，由可推得 ． 从而得到所要证明的结论． 例3.4[10] 设在上连续，在内可导，若不是线性函数，且，求证：使得． 证明 利用原函数法构造辅助函数 ， 则，在内可导，且，因为不是线性函数，所以，使． 若，则在上应用拉格朗日中值定理，，使 即 ． 若，则在上应用拉格朗日中值定理，使 即 ． 例3.5[1] 设，，求证：，使． 证明 利用原函数法构造辅助函数，在上应用拉格朗日中值定理得 所以 令，有 ． 例3.6[1] 设在上二次连续可微，求证：，使 ． 证明 作辅助函数 ，， 则在内可导，由拉格朗日中值定理有 ， 而 () 所以 3.3辅助函数在柯西 (Cauchy)中值定理中的应用 3.3.1柯西中值定理及其证明 柯西中值定理： 设函数和满足： (1)在上都连续； (2)在上都可导； (3)和不同时为零； (4)； 则存在，使得 ． 证明 作辅助函数 易见在上满足罗尔定理的条件，故存在，使得 因为，所以有 ． 3.3.2构造辅助函数利用柯西中值定理解决问题举例 例3.7[11] 设在内二次可微，用柯西中值定理证明：，，存在在与之间，使得 (3.1) 成立(此即展开到一次幂的公式)． 证明 只证明的情况(的情况类似可证，的情况显然)，式(3.1)可改写成 (3.2) 为了证明(3.2)式，只要作辅助函数 ， 则 ， 注意到，，两次应用柯西中值定理， 则 () ()证毕． 例3.8[8] 设函数在上可微，且当时，， ，求证：． 证明 问题在于证明 (3.3) 利用参数变易法构造辅助函数，，利用柯西中值定理，可得(3.3)式左端 () ()． 例3.9[9] 设函数在()上连续，在内可导，则存在，使得 ． 证明 利用参数变易法构造辅助函数，显然它在上与一起满足柯西中值定理条件，于是存在，使得 从而有 ． 3.4辅助函数在积分学里的应用举例 例3.10[12] 设在上连续，且，，求证： ． 证明 作辅助函数 ， 则，且 所以单调上升，所以对，有，即 ． 例3.11[8] 设在上连续，且，，使对，有 ，则，． 证明 利用参数变易法构造辅助函数，，则 所以 ，即， 又 ，所以，． 例3.12[13] 设在上连续，且对在上连续，且，都有，求证：，． 证明 作辅助函数 ， 则在上连续，且，(只需证，即)， 由已知， 所以 所以，即， 从而 即为常数． 例3.13[14] 设在上可微，且满足，求证：在内至少有一点，使． 证明 由所要证明的结论出发，结合已知条件，探寻恰当的辅助函数，将 变形为， 利用原函数法可得到辅助函数，， 因为，由积分中值定理可知，至少存在一点，使得． 又对于，有，， 所以． 由罗尔定理知，至少存在一点，使，即． 4. 结束语 辅助函数的构造在数学分析中一直占有重要地位，尤其是在微积分学中，构造辅助函数解题得到了广泛的应用． 辅助函数的构造是我们解决问题的重要工具，对它的研究从没中断过，众多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究，也取得了很多学术成果．本文从构造辅助函数的基本概念入手，总结了几种辅助函数的构造方法，对其在微积分学中的应用做了大量的问题举例，同时也体现出了构造辅助函数解决问题对培养学生创新思维能力的重要作用． 参考文献 [1] 刘立山，孙钦福.数学分析的基本理论与典型方法[M].北京：中国科学技术出版社，2005：63-71，87-139. [2] 同济大学.高等数学(第五版)[M].北京：高等教育出版社，2002：126-132. [3] 郭欣红.罗尔定理中辅助函数的构造与应用[J].消费导刊，2008(14)：163-165. [4] 吕书强，李秋红.用罗尔定理证明数学等式时辅助函数的构造法[J]．平顶山工学院学报，2002，11(3)：86-87． [5] 陆征一.微分学基本定理论证的“积分辅助函数法”[J].高等数学研究，2003，6(4)：29-31. [6] 赵树嫄.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，1988：144-150. [7] 徐利治，王兴华.数学分析的方法及例题选讲[M].北京：高等教育出版社，1983. [8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006：206-222. [9] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京：高等教育出版社，2001：119-127. [10] DONG X H， LAU K S. Cauchy transforms of self-similar measures：the Laurent coefficients [J].J Funct Anal，2003，202：67-97. [11] LUND J P， STRICHARTZ R S. VINSON J P. Cauchy transforms of self-similar measures [J]. Exper Math，1998，7(3)：177-190. [12] 宋振云，陈少元.微分中值定理证明中辅助函数的构造[J].高师理科学刊，2009，29(2)：10-13. [13] DONG X H. Cauchy transforms of self-similar measures [D].Hong Kong：Department of Mathematics，The Chinese University of Hong Kong，2002. [14] 郭 乔.如何作辅助函数[J].高等数学研究，2002，3(5)：48-49. Explore and sum up of the Structure Method of Auxiliary Function In Calculus Qiu Ye, Gao Zhan, Gao Yaru School of Computer Science and Technology, China University of Mining and Technology, Xu Zhou (221008) Abstract Auxiliary function is an important method of solving problems and used widely in mathematical analysis. Through research on the method of constructing auxiliary function in calculus, we can construct the auxiliary function related to the problems which we are studying. Then we can obtain the conclusions. This paper introduces the concept of constructing auxiliary function and its importance, analyzes the principles of constructing auxiliary function, summarizes several methods of auxiliary function construction, and studies the important role and application skills of auxiliary functions in calculus. Keywords: Calculus；Auxiliary function；Mean Value Theorem