安徽中考总复习《图形初步与三角形》单元检测卷含解析.docx

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单元检测卷四　图形初步与三角形 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 1.已知线段AB=16 cm,O是线段AB上一点,M是AO的中点,N是BO的中点,则MN=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　 A.10 cm B.6 cm C.8 cm D.9 cm 解析:∵M是AO的中点,N是BO的中点, ∴MN=MO+ON=AO+OB=AB=8 cm. 答案:C 2.已知∠1=130,∠2=118,则∠1与∠2的数量关系为(　　) A.∠1=∠2 B.∠1-∠2=12 C.∠1-∠2=22 D.∠2-∠1=12 解析:∠1-∠2=130-118=12. 答案:B 3.如图,直线l1,l2,l3交于一点,直线l4∥l1,若∠1=124,∠2=88,则∠3的度数为(　　) A.26 B.36 C.46 D.56 解析:∵∠1=∠2+∠4,∠1=124,∠2=88, ∴∠4=36. ∵l1∥l2,∴∠3=∠4=36.故选B. 答案:B 4.现有3 cm,4 cm,7 cm,9 cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:四条木棒的所有组合:3,4,7;3,4,9;3,7,9;4,7,9,只有3,7,9和4,7,9能组成三角形.故选B. 答案:B 5.等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案:A 6.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为,则点P的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:过点A作AE⊥BD于点E,过点C作CF⊥BD于点F, ∵∠BAD=∠ADC=90,AB=AD=2,CD=, ∴∠ABD=∠ADB=45. ∴∠CDF=90-∠ADB=45. ∵sin ∠ABD=, ∴AE=ABsin ∠ABD=2sin 45=2=2>, ∴在AB和AD边上符合P到BD的距离为的点有2个. 答案:A 7.如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形.根据图中标示的各点位置,判断△ACD与下列哪一个三角形全等?(　　) A.△ACF B.△AED C.△ABC D.△BCF 解析:∵根据图形可知AD=AD,AE=AC,DE=DC,∴△ACD≌△AED. 答案:B 8.如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1 200 m,从飞机上看地平面指挥台B的仰角α=30,则飞机A与指挥台B的距离为(　　) A.1 200 m B.1 200 m C.1 200 m D.2 400 m 解析:∵∠ABC=∠α=30, ∴AB==2 400(m). 答案:D 9. 如图,若正方形网格中每个小方格的边长为1,则△ABC是(　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:根据勾股定理计算出BC2,AB2,AC2,再根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形. 答案:A 10.如图,点A,C都在直线l上,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,三点E,B,D到直线l的距离分别是6,3,4,计算图中由线段AB,BC,CD,DE,EA所围成的图形的面积是(　　) A.50 B.62 C.65 D.68 解析:如图,过点E,B,D分别作EF⊥l,BG⊥l,DH⊥l,点F,G,H分别为垂足. 易得△EFA≌△AGB,△BGC≌△CHD,从而AF=BG,AG=EF;GC=DH,CH=BG.故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16, 则所求面积为(6+4)16-34-63=50. 答案:A 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 11.如图,AC与BD相交于点O,且AB=CD,请添加一个条件　　　　　,使得△ABO≌△CDO. 解析:由题意可知∠AOB=∠COD,AB=CD, ∵AB是∠AOB的对边,CD是∠COD的对边, ∴只能添加角相等,故可添加∠A=∠C或∠B=∠D或AB∥CD. 答案:∠A=∠C (或AB∥CD 或∠B=∠D) 12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,CD=2,则点D到AB的距离是　　　. 解析:由角平分线的性质,得点D到AB的距离等于CD,也是2. 答案:2 13.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为　　　　　. 解析:如图,分三种情况讨论: (1) (2) (3) 图(1)中,∠APB=90, ∵AO=BO,∠APB=90, ∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60,∴△APO是等边三角形, ∴AP=2. 图(2)中,∠APB=90, ∵AO=BO,∠APB=90, ∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60,∴∠BAP=30, 在Rt△ABP中,AP=cos 304=2. 图(3)中,∠ABP=90, ∵BO=AO=2 ,∠BOP=∠AOC=60, ∴PB=2. ∴AP==2. 答案:2,2或2 14. 已知△ABC是直角边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是　　　　　. 解析:反复运用勾股定理,得AC=,AD=()2,AE=()3,…,所以第n个等腰直角三角形的斜边长是()n. 答案:()n 三、(本大题共2小题,每小题8分,共16分) 15. 如图,锐角三角形ABC中,直线l为BC的中垂线,直线m为∠ABC的角平分线,l与m相交于P点.若∠A=60,∠ACP=24,求∠ABP的度数. 解:∵直线m为∠ABC的角平分线, ∴∠ABP=∠CBP. ∵直线l为BC的中垂线, ∴BP=CP, ∴∠CBP=∠BCP, ∴∠ABP=∠CBP=∠BCP, 在△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180,即3∠ABP+60+24=180, 解得∠ABP=32. 16. 如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD. (1)求证:BE=AD. (2)求证:AC是线段ED的垂直平分线. (3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由. (1)证明:∵∠ABC=90,BD⊥EC, ∴∠1与∠3互余,∠2与∠3互余. ∴∠1=∠2. ∵∠ABC=∠DAB=90,AB=BC, ∴△BAD≌△CBE(ASA). ∴AD=BE. (2)证明:∵E是AB中点, ∴EB=EA. 由(1)AD=BE得AE=AD. ∵AD∥BC,∴∠7=∠ACB=45. ∵∠6=45, ∴∠6=∠7.由等腰三角形的性质,得EM=MD,AM⊥DE. ∴AC是线段ED的垂直平分线. (3)解:△DBC是等腰三角形(CD=BD). 理由:由(2),得CD=CE.由(1),得CE=BD. ∴CD=BD. ∴△DBC是等腰三角形. 四、(本大题共2小题,每小题8分,共16分) 17. 如图,已知∠DAB+∠D=180,AC平分∠A,且∠CAD=25,∠B=95. (1)求∠DCA的度数; (2)求∠ACE的度数. 解:(1)∵∠DAB+∠D=180, ∴AB∥CD. ∵∠CAD=∠CAB=25, ∴∠DCA=∠CAB=25. (2)∵∠CAD=∠CAB=25,∠B=95, ∠ACE是△ABC的外角, ∴∠ACE=∠B+∠CAB=95+25=120. 18.如图,四边形ABCD是平行四边形,△ABC和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和BC相交于点O,连接BB. (1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母); (2)求证:△ABO≌△CDO. (1)解:△ABB,△AOC和△BBC; (2)证明:在▱ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠D, 由轴对称知AB=AB,∠ABC=∠ABC, ∴AB=CD,∠ABO=∠D. 在△ABO和△CDO中, ∴△ABO≌△CDO. 五、(本大题共2小题,每小题10分,共20分) 19.2015年4月25日14时11分,尼泊尔发生8.1级地震,震源深度20 km.中国救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A,B,AB相距2 m,探测线与该面的夹角分别是30和45(如图).试确定生命所在点C与探测面的距离.(参考数据≈1.41,≈1.73) 解:过点C作CD⊥AB, 设CD=x m, ∵∠ABE=45,∴∠CBD=45, ∴DB=CD=x m, ∵∠CAD=30, ∴AD=CD=x m. ∵AB相距2米,∴x-x=2, 解得x=. 答:生命所在点C与探测面的距离是 m. 20.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC=90,∠CED=45,∠DCE=30,DE=,BE=2. (1)求CD的长; (2)求四边形ABCD的面积. 解:(1)如图,过点D作DH⊥AC, ∵∠CED=45,DH⊥EC,DE=, ∴EH=DH, ∵EH2+DH2=ED2, ∴EH2=1,∴EH=DH=1. 又∵∠DCE=30,∴DC=2. (2)由(1)知HC=, ∵∠AEB=45,∠BAC=90,BE=2, ∴AB=AE=2,∴AC=2+1+=3+, ∴2(3+)+1(3+)=. 六、(本题满分12分) 21.如图,AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O. (1)求证:AD=AE; (2)连接BC,DE,试判断BC与DE的位置关系,并说明理由. 证明:(1)在△ACD与△ABE中, ∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90,AB=AC, ∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE. (2)互相平行. 在△ADE与△ABC中, ∵AD=AE,AB=AC, ∴∠ADE=∠AED,∠ABC=∠ACB,且∠ADE==∠ABC. ∴DE∥BC. 七、(本题满分12分) 22.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,且∠B=∠ADB,过点C作CM垂直于AD的延长线,垂足为M. (1)若∠DCM=α,试用α表示∠BAD; (2)求证:AB+AC=2AM. 解:(1)∵CM⊥AM,∠DCM=α, ∴∠CDM=∠ADB=∠B=90-α, ∴∠BAD=180-2∠ABD=180-2(90-α)=2α. (2)证明:如图,延长AM到F使MF=AM,连接CF,则有AC=CF. ∵AD平分∠CAB,∴∠CAF=∠BAF=∠F. ∴CF∥AB. ∴∠FCD=∠ABD=∠ADB=∠CDF. ∴CF=DF. ∵AD+DF=2MA,∴AB+AC=2MA. 八、(本题满分14分) 23.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE ,垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c. 特例探索 (1)如图1,当∠ABE=45,c=2时,a=　　　　　 ,b=　　　　　; 如图2,当∠ABE=30,c=4时,a=　　　　　,b=　　　　　; 图1 图2 图3 归纳证明 (2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,利用图3证明你发现的关系式; 拓展应用 (3)如图4,在▱ABCD中,点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点,BE⊥EG,AD=2,AB=3,求AF的长. 图4 解:(1)如图1,连接EF,则EF是△ABC的中位线, ∴EF=AB=. ∵∠ABE=45,AF⊥BE, ∴△ABP是等腰直角三角形. ∵EF∥AB , ∴△EFP也是等腰直角三角形. ∴AP=BP=2 ,EP=FP=1. ∴AE=BF=. ∴a=b=2. 图1 图2 图3 图4 如图2,连接EF,则EF是△ABC的中位线. ∵∠ABE=30,AF⊥BE,AB=4, ∴AP=2,BP=2. ∵EFAB, ∴PE=,PF=1. ∴AE=,BF=. ∴a=2 ,b=2. (2)a2+b2=5c2. 如图3,连接EF,设AP=m ,BP=n, 则c2=AB2=m2+n2, ∵EFAB, ∴PE=BP=n,PF=AP=m. ∴AE2=m2+n2,BF2=n2+m2. ∴b2=AC2=4AE2=4m2+n2, a2=BC2=4BF2=4n2+m2. ∴a2+b2=5(m2+n2)=5c2. (3)如图4,延长EG,BC交于点Q,延长QD,BA交于点P,延长QE,BE分别交PB,PQ于点M,N,连接EF. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ADBC,ABCD. ∵E,G分别是AD,CD的中点, ∴△EDG≌△QCG≌△EAM, ∴CQ=DE=,DG=AM=1.5, ∴BM=4.5. ∵, ∴. ∴BP=9.∴M是BP的中点. ∵ADFQ, ∴四边形ADQF是平行四边形. ∴AF∥PQ. ∵E,F分别是AD,BC的中点,∴AEBF. ∴四边形ABFE是平行四边形, ∴OA=OF. 由AF∥PQ得: , , ∴. ∴PN=QN. ∴N是PQ的中点. ∴△BQP是“中垂三角形”, ∴PQ2=5BQ2-BP2=5(3)2-92=144, ∴PQ=12. ∴AF=PQ=4.