河北保定易县中学2017届高三上学期周考数学(理)试卷(二).doc

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河北保定易县中学2017届高三上学期周考数学（理）试卷（二） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应位置．） 1．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（　　） A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 2．复数i（3﹣i）的共轭复数是（　　） A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i 3．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，则实数a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C． D．2 4．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　） A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　） A．y= B．y=x2 C．y=x3 D．y=sinx 6．要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sin（2x﹣）的图象（　　） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 7．不等式组，所表示的平面区域的面积等于（　　） A． B． C． D． 8．执行如图所示的程序框图，则输出s的值等于（　　） A．1 B． C．0 D．﹣ 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　） A．96 B． C． D． 10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（　　） A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 11．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（　　） A． B． C． D． 12．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 　 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应题中的横线上． 13．已知等比数列{an}的公比q为正数，且a3a9=2a52，则q=　　． 14．已知函数f（x）=lnx﹣ax2，且函数f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率是，则a=　　． 15．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则点F到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离为　　． 16．下列四个命题： ①一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真； ②等差数列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差为﹣； ③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2； ④在△ABC中，若sin2A＜sin2B+sin2C，则△ABC为锐角三角形． 其中正确命题的序号是　　．（把你认为正确命题的序号都填上） 　 三.解答题（共6题，共70分） 17．设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban﹣2n=（b﹣1）Sn （Ⅰ）证明：当b=2时，{an﹣n•2n﹣1}是等比数列； （Ⅱ）求{an}的通项公式． 18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证： （1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）直线A1F∥平面ADE． 19．某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图． （1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数； （3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率． 20．如图，已知椭圆+y2=1的四个顶点分别为A1，A2，B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，若圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）上有且只有一个点P满足=． （1）求圆C的半径r； （2）若点Q为圆C上的一个动点，直线QB1交椭圆于点D，交直线A2B2于点E，求的最大值． 21．已知函数f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0 （Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程； （Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围 （Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围． 　 [选做题]请考生从22、23题中任选一题作答，共10分[选修4-4.坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为． （1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程； （2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小． 　 [选修4-5.不等式选讲] 23．已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立． （Ⅰ）求实数m的值； （Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证： +≥．　  参考答案 　 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应位置．） 1．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（　　） A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 【考点】交集及其运算． 【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可． 【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}， 则A∩B={3，5}． 故选：B． 　 2．复数i（3﹣i）的共轭复数是（　　） A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简，则答案可求． 【解答】解：∵i（3﹣i）=3i﹣i2=1+3i， ∴复数i（3﹣i）的共轭复数是1﹣3i． 故选：B． 　 3．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，则实数a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C． D．2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】直接利用向量垂直数量积为0列式求得a值． 【解答】解：∵=（1，2），=（a，﹣1）， ∴由⊥，得1a+2（﹣1）=0， 即a=2． 故选：D． 　 　 4．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　） A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 【考点】直线与平面平行的判定． 【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案． 【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确； C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确． D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确． B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确． 故选B 　 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　） A．y= B．y=x2 C．y=x3 D．y=sinx 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【分析】分选项进行一一判断 A：y=在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，故A错误；B：y=x2不是奇函数，故B错误；C：y=x3满足题意，故C正确；D：y=sinx不满足是增函数的要求，故不符合题意，故D错误，即可得出结论． 【解答】解：A：y=在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，故A错误； B：y=x2是偶函数，不是奇函数，故B错误； C：y=x3满足奇函数，根据幂函数的性质可知，函数y=x3在R 上单调递增，故C正确； D：y=sinx是奇函数，但周期是2π，不满足是增函数的要求，故不符合题意，故D错误， 故选：C． 　 6．要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sin（2x﹣）的图象（　　） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】把函数y=sin2x的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣） 的图象，把平移过程逆过来可得结论． 【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣） 的图象， 故要得到函数y=sin2x的函数图象，可将函数y=sin（2x﹣）的图象向左至少平移个单位即可， 故选：B． 　 7．不等式组，所表示的平面区域的面积等于（　　） A． B． C． D． 【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，把可行域的面积化为两个三角形的面积求解． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， ∴S四边形OBAC=S△OBA+S△OCA =． 故选：C． 　 8．执行如图所示的程序框图，则输出s的值等于（　　） A．1 B． C．0 D．﹣ 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行如图所示的程序框图，得出该程序输出的是计算S的值，分析最后一次循环过程，即可得出结论． 【解答】解：执行如图所示的程序框图，得： 该程序输出的是计算S的值； 当k=0时，满足条件，计算S=cos+cos+cos+cos+cos+cos+cos0=1， 当k=﹣1时，不满足条件，输出S=1． 故选：A． 　 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　） A．96 B． C． D． 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的． 【解答】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2． ∴几何体的平面部分面积为642﹣π22=96﹣4π． 圆锥的侧面积为=4． ∴几何体的表面积为96﹣4π+4． 故选：C． 　 10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（　　） A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求． 【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d， 则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d， 又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1， 则a﹣2d=a﹣2=． 故选：B． 　 11．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质． 【分析】利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可． 【解答】解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|MF1|﹣|MF2|=2a， 所以|MF1|=a+a1，|MF2|=a﹣a1． 因为∠F1MF2=90， 所以，即，即， 因为， 所以． 故选：B． 　 12．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】求出函数的导数，由极值的概念得到f′（1）=0，即有a+b=6，再由基本不等式即可得到最大值． 【解答】解：函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2的导数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b， 由于函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值， 则有f′（1）=0，即有a+b=6，（a，b＞0）， 由于a+b≥2，即有ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3取最大值9． 故选D． 　 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应题中的横线上． 13．已知等比数列{an}的公比q为正数，且a3a9=2a52，则q=　　． 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】设出等比数列的首项，由等比数列的通项公式写出a3，a9，a5，代入后可直接求得q的值． 【解答】解：设等比数列的首项为a1， 由，得：， 即， ∵a1≠0，q＞0，∴q=． 故答案为． 　 14．已知函数f（x）=lnx﹣ax2，且函数f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率是，则a=　　． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：∵f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率是， ∴，又， ∴，得． 故答案为： 　 15．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则点F到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离为　　． 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值． 【解答】解：抛物线x2=8y的焦点F（0，2）， 双曲线的渐近线方程为y=3x， 则F到双曲线的渐近线的距离为 d==． 故答案为：． 　 16．下列四个命题： ①一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真； ②等差数列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差为﹣； ③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2； ④在△ABC中，若sin2A＜sin2B+sin2C，则△ABC为锐角三角形． 其中正确命题的序号是　①③　．（把你认为正确命题的序号都填上） 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①利用命题的逻辑关系可判断； ②根据等差数列和等比数列的性质判断 ③根据条件，进行变形即可； ④根据正弦定理得出边的关系，进行判断． 【解答】解：①一个命题的逆命题与其否命题为等价命题，故正确； ②等差数列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差为﹣或零，故错误； ③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+=+=5++≥5+2，故正确； ④在△ABC中，若sin2A＜sin2B+sin2C，可推出a2＜b2+c2，A为锐角，但不能得出是锐角三角形，故错误． 故答案为①③． 　 三.解答题（共6题，共70分） 17．设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban﹣2n=（b﹣1）Sn （Ⅰ）证明：当b=2时，{an﹣n•2n﹣1}是等比数列； （Ⅱ）求{an}的通项公式． 【考点】数列的应用． 【分析】（Ⅰ）当b=2时，由题设条件知an+1=2an+2n．由此可知an+1﹣（n+1）•2n=2an+2n﹣（n+1）•2n=2（an﹣n•2n﹣1），所以{an﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅱ）当b=2时，由题设条件知an=（n+1）2n﹣1；当b≠2时，由题意得=，由此能够导出{an}的通项公式． 【解答】解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知2a1﹣2=a1，解得a1=2， 且ban﹣2n=（b﹣1）Sn ban+1﹣2n+1=（b﹣1）Sn+1 两式相减得b（an+1﹣an）﹣2n=（b﹣1）an+1 即an+1=ban+2n① 当b=2时，由①知an+1=2an+2n 于是an+1﹣（n+1）•2n=2an+2n﹣（n+1）•2n=2（an﹣n•2n﹣1） 又a1﹣1•20=1≠0，所以{an﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知an﹣n•2n﹣1=2n﹣1， 即an=（n+1）2n﹣1 当b≠2时，由①得 == 因此= 即 所以． 　 18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证： （1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）直线A1F∥平面ADE． 【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE． 【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC， ∵AD⊂平面ABC， ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ∴AD⊥平面BCC1B1， ∵AD⊂平面ADE ∴平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点 ∴A1F⊥B1C1， ∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ∴A1F⊥平面BCC1B1 又∵AD⊥平面BCC1B1， ∴A1F∥AD ∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE， ∴直线A1F∥平面ADE． 　 19．某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图． （1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数； （3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数． （2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，由此能估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数． （2）由频率分布直方图及题设条件得到第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，由此能求出所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06， ∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为： 0.0650=3（人）． （2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38， ∴估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数为： 8000.38=304（人）． （2）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08， ∴第一组有500.06=3人，第五组有500.08=4人， ∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生， ∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生， 现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组， 基本事件总数n==12， 所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数m==7， ∴所求概率为p=． 　 20．如图，已知椭圆+y2=1的四个顶点分别为A1，A2，B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，若圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）上有且只有一个点P满足=． （1）求圆C的半径r； （2）若点Q为圆C上的一个动点，直线QB1交椭圆于点D，交直线A2B2于点E，求的最大值． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由椭圆+y2=1可得F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x，y），由=，可得=，化为=．又（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3），根据圆C上有且只有一个点P满足=，可得上述两个圆外切，即可得出． （2）直线A2B2方程为：，化为=．设直线B1Q：y=kx﹣1，由圆心（3，3）到直线的距离≤，可得k∈．联立，解得E．联立，解得D．利用两点之间的距离可得===|1+|，利用导数研究其单调性即可得出． 【解答】解：（1）由椭圆+y2=1可得F1（﹣1，0），F2（1，0）， 设P（x，y），∵=，∴=，化为：x2﹣3x+y2+1=0，即=． 又（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）， ∵圆C上有且只有一个点P满足=． ∴上述两个圆外切， ∴=r+，解得r=． （2）直线A2B2方程为：，化为=． 设直线B1Q：y=kx﹣1， 由圆心（3，3）到直线的距离≤，可得k∈． 联立，解得E． 联立，化为：（1+2k2）x2﹣4kx=0，解得D． ∴|DB1|==． |EB1|==， ∴===|1+|， 令f（k）=，f′（k）=≤0， 因此函数f（k）在k∈上单调递减． ∴k=时， =|1+|=取得最大值． 　 21．已知函数f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0 （Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程； （Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围 （Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，通过求导得出斜率k的值，从而求出切线方程； （Ⅱ）只需f′（）＞0即可，解不等式求出即可； （Ⅲ）由题设可得，由判别式△＞0，求出m的范围，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是，从而综合得出m的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，∴f′（x）=﹣x2+2x+3， 故k=f′（3）=0， 又∵f（3）=9， ∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9， （Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间， 即存在某个子区间（a，b）⊂（，+∞）使得f′（x）＞0， ∴只需f′（）＞0即可， f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1， 由f′（）＞0解得m＜﹣或m＞， 由于m＞0，∴m＞． （Ⅲ）由题设可得， ∴方程有两个相异的实根x1，x2， 故x1+x2=3，且 解得：（舍去）或， ∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴， 若 x1≤1＜x2， 则， 而f（x1）=0，不合题意． 若1＜x1＜x2，对任意的x∈[x1，x2]， 有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0， 则， 又f（x1）=0，所以 f（x）在[x1，x2]上的最小值为0， 于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是， 解得； 综上，m的取值范围是． 　 [选做题]请考生从22、23题中任选一题作答，共10分[选修4-4.坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为． （1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程； （2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小． 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）由已知得t=x﹣3，从而y=，由此能求出直线l的普通方程；由，得，由此能求出圆C的直角坐标方程． （2）圆C圆心坐标C（0，），设P（3+t，），由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标，使P到圆心C 的距离最小． 【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为， ∴t=x﹣3，∴y=， 整理得直线l的普通方程为=0， ∵，∴， ∴， ∴圆C的直角坐标方程为：． （2）圆C：的圆心坐标C（0，）． ∵点P在直线l： =0上，设P（3+t，）， 则|PC|==， ∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）． 　 [选修4-5.不等式选讲] 23．已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立． （Ⅰ）求实数m的值； （Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证： +≥． 【考点】基本不等式；绝对值三角不等式． 【分析】（I）|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，m∈N*，解得m． （II）α，β＞1，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，可得α+β=2．再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】（I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|， ∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2． ∵m∈N*，∴m=1． （II）证明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2， ∴α+β=2． ∴+==≥=，当且仅当α=2β=时取等号．