中考题数学分类全集64圆与切线.doc
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20.如图，AB是的的直径，BCAB于点B，连接OC交于点E，弦AD//OC,弦DFAB于点G。 （1）求证：点E是的中点； （2）求证：CD是的切线； （3）若，的半径为5，求DF的长。 7．(本题满分10分) 如图11，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC， 图11 交AB的延长线于E，垂足为F． (1)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值． 25、（2011•淮安）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C．∠DAB=∠B=30． （1）直线BD是否与⊙O相切？为什么？ （2）连接CD，若CD=5，求AB的长． 考点：切线的判定；含30度角的直角三角形；圆周角定理。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）连接OD，通过计算得到∠ODB=90，证明BD与⊙O相切． （2）△OCD是边长为5的等边三角形，得到圆的半径的长，然后求出AB的长． 解答：解：（1）直线BD与⊙O相切． 如图连接OD，CD，∵∠DAB=∠B=30，∴∠ADB=120， ∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=30，∴∠ODB=∠ADB﹣∠ODA=120﹣30=90．所以直线BD与⊙O相切． （2）连接CD，∠COD=∠OAD+∠ODA=30+30=60，又OC=OD ∴△OCD是等边三角形，即：OC=OD=CD=5=OA， ∵∠ODB=90，∠B=30，∴OB=10，∴AB=AO+OB=5+10=15． 点评：本题考查的是切线的判断，（1）根据切线的判断定理判断BD与圆相切．（2）利用三角形的边角关系求出线段AB的长． 13、（2011•随州）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ） A、30 B、45 C、60 D、67.5 考点：切线的性质。 专题：常规题型。 分析：根据图形利用切线的性质，得到∠COD=45，连接AC，∠ACO=22.5，所以∠PCA=90﹣22.5=67.5． 解答：解：如图：∵PD切⊙O于点C， ∴OC⊥PD， 又∵OC=CD， ∴∠COD=45， 连接AC，∵AO=CO， ∴∠ACO=22.5， ∴∠PCA=90﹣22.5=67.5． 故选D． 点评：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出∠PCA的度数． 25.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、FC. (1）求证：CE是⊙O的切线。 （2）若FC∥AB，求证：四边形 AOCF是菱形。 25.解： (1）由翻折可知 ∠FAC=∠OAC, ∠E=∠ADC=90 ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA ∴∠FAC=∠OCA, ∴OC∥AE ∴∠OCE=90，即OC⊥OE ∴CE是⊙O的切线 （2）∵FC∥AB,OC∥AF, ∴四边形AOCF是平行四边形 ∵OA=OC， ∴□AOCF是菱形 A 第20题 N C B D E F M O O 20、（7分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM与于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF。 （1） 求证：OD∥BE; (2) 猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由。 A 第20题 N C B D E F M O O 20、解：（1）证明：连接OE ∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90…………1分 ∴∠AOD=∠EOD=∠AOE …………2分 ∵∠ABE=∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD∥BE …………3分 (2) OF =CD …………4分 理由：连接OC ∵BE、CE是⊙O的切线 ∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM∥BN ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180 由（1）得 ∠ADO=∠EDO ∴2∠EDO+2∠OCE=180 即∠EDO+∠OCE=90 …………6分 在Rt△DOC中， ∵ F是DC的中点 ∴OF =CD …………7分 24、（2011•衡阳）如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D． （1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若∠ACB=120，OA=2．求CD的长． 考点：切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理。 专题：综合题。 分析：（1）连接OC，证明OC⊥DC，利用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线判定切线即可； （2）利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到∠D=30，利用解直角三角形求得CD的长即可． 解答：解：（1）CD与⊙O相切； 证明：连接OC， ∵CA=CB， ∴OC⊥AB， ∵CD∥AB， ∴OC⊥CD， ∵OC是半径， ∴CD与⊙O相切． （2）∵CA=CB，∠ACB=120， ∴∠DOC=60 ∴∠D=30， ∵OA=2， ∴CD=2 点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题． 15. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，∠D＝32，则∠A＝________. 20. 如图，在△ABC中，D为AB上一点，⊙O经过B、C、D三点，∠COD＝90，∠ACD＝∠BCO＋∠BDO. (1)求证：直线AC是⊙O的切线； (2)若∠BCO＝15，⊙O的半径为2，求BD的长． (第20题) 20. (1)连接OB. ∵ ∠COD＝90， ∴ ∠CBD＝45. ∵ OB＝OC，OB＝OD， ∴ ∠OBC＝∠BCO， ∠OBD＝∠BDO. ∵ ∠CBD＝45，(3分) ∴ ∠BCO＋∠BDO＝45. ∵ ∠ACD＝∠BCO＋∠BDO， ∴ ∠ACD＝45.(5分) 在Rt△COD中，OC＝OD. ∴ ∠OCD＝45. ∴ ∠OCA＝90. ∴ 直线AC是⊙O的切线. (6分) (2)过O作OE⊥BD，垂足为E. ∴ BD＝2DE. ∵ ∠BCO＋∠BDO＝45，∠BCO＝15， ∴ ∠BDO＝30. 在Rt△DOE中， DE＝ODcos30 ＝2 ＝. ∴ BD＝2.(10分) 23．(10分)如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE＝3，连接BD，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M． (1)求⊙O的半径； (2)求证：EM是⊙O的切线； (3)若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45时，求图中阴影部分的面积． 答案：解：连结OE， ∵DE垂直平分半径OA ∴OC=, ∴∠OEC=30 ∴ （2）由（1）知：∠AOE=60，, ∴ ∴∠BDE=60 ∵BD∥ME， ∴∠MED=∠BDE=60 ∴∠MEO=90 ∴EM是⊙O的切线。 （3）连结OF ∵∠DPA=45 ∴∠EOF=2∠EDF=90 ∴ 3、（2011•兰州）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25，则∠D等于（ ） A、20 B、30 C、40 D、50 考点：切线的性质；圆周角定理。 专题：计算题。 分析：先连接BC，由于AB 是直径，可知∠BCA=90，而∠A=25，易求∠CBA，又DC是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=25，再利用三角形外角性质可求∠D． 解答：解：如右图所示，连接BC， ∵AB 是直径， ∴∠BCA=90， 又∵∠A=25， ∴∠CBA=90﹣25=65， ∵DC是切线， ∴∠BCD=∠A=25， ∴∠D=CBA﹣∠BCD=65﹣25=40． 故选C． 点评：本题考查了直径所对的圆周角等于90、弦切角定理、三角形外角性质．解题的关键是连接BC，构造直角三角形ABC． C A D B P 第26题 26．（本题满分12分）已知∠AOB＝60，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C． （1）⊙P移动到与边OB相切时（如图），切点为D，求劣弧的长； （2）⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF＝4cm，求OC的长； 23．(8分)如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P． (1)求∠AOD的度数； (2)求证：PD是半圆O的切线． A P C O B E D 23. （1）解：∵点C时OA的中点，∴OC=OA=OD ∵CD⊥OA，∴∠OCD=90。 在Rt△OCD中，cos∠COD= ∴∠COD=60，即∠AOD=60。 （2）证明：连结OE，∵点E是的中点， ∴， ∴∠BOE=∠DOE=∠DOB=（180-∠COD）=（180-60）=60。 ∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，又∠EAO+∠AEO=∠EOB=60 ∴∠EAO=30， ∴PD∥AE， ∴∠P=∠EAO=30。 由（1）知∠AOD=60，∴∠PDO=180-（∠P+∠POD）=180-（30+60）=90， ∴PD是半圆O的切线。 25．（11柳州）（本题满分10分） 如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E． （1）求证：直线CD为⊙O的切线； D A B C O (第25题图) E （2）当AB＝2BE，且CE＝时，求AD的长． D A B C O (第25题图) E 【答案】解：(1)连接OC ∵AC平分∠DAB ∴∠DAC＝∠CAB ∵OA＝OC ∴∠OCA＝∠CAB ∴∠OCA＝∠DAC ∴AD∥CO ∵CD⊥AD ∴CD⊥AD ∴CD为⊙O的切线 （2）∵AB＝2BO AB＝2BE ∴BO＝BE＝CO 设BO＝BE＝CO＝x ∴OE＝2x 在Rt△OCE中， OC2＋CE2＝OE2 x2＋()2＝(2x)2 ∴x＝1 ∴AE＝3 ∠E＝30 AD＝ 23、（2011•六盘水）如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若AC=6，求图中弓形（即阴影部分）的面积． 考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形。 分析：（1）连接OC．欲证明DE是⊙O的切线，只需证明DE⊥OC即可； （2）利用弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积计算阴影部分的面积即可． 解答：解：（1）直线CD是⊙O的切线 理由如下： 连接OC ∵∠AOC、∠ABC分别是AC所对的圆心角、圆周角 ∴∠AOC=2∠ABC=2300=600 ∴∠D+∠AOC=30+600=900 ∴∠DCO=90 ∴CD是⊙O的切线 （2）过O作OE⊥AC，点E为垂足 ∵OA=OC，∠AOC=60 ∴△AOC是等边三角形 ∴OA=OC=AC=6，∠OAC=60 在Rt△AOE中 OE=OA•sin∠OAC=6•sin60=3 ∴S△AOC= ∵S扇形AOC==6π ∴S阴=S扇形AOC﹣S△AOC=6π﹣9 点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形；证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线． 24、（2011•南平）如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知∠B=28，⊙O的半径为6，求线段AD的长．（结果精确到0.1） 考点：切线的判定与性质；解直角三角形。 分析：（1）连接OD，可证得AC∥OD，即可得出∠ODC=90，即BC是⊙O的切线； （2）连接DE，在直角三角形ADE中，利用∠BAD的余弦值求出线段AD的长． 解答：解：（1）连接OD， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC， ∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA， ∴∠ODA=∠DAC， ∴AC∥OD， ∵∠C=90，∴∠ODC=90， 即BC是⊙O的切线； （2）∵∠B=28，∴∠BAC=62， 即∠BAD=31， ∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE=90， ∵OA=6，∴AE=12， ∴cos∠DAE=， ∴AE=≈=14.0． 点评：本题考查了切线的判定和性质以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握． 4．（2011年青海，4,2分）如图1所示，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A、B两点，C是⊙O上的一点，若∠P=700，则∠ACB= 。 【答案】55 图1 25. （2011年青海，25,7分）已知：如图8，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，AD⊥EF于点D. （1）求证：∠BAC=∠CAD （2）若∠B=30，AB=12，求的长. 【答案】证法一：连接OC ∵ EF是过点C的⊙O的切线。 ∴ OC⊥EF 又AD⊥EF ∴ OC∥AD ∴ ∠OCA=∠CAD 又∵OA=OC ∴ ∠OCA=∠BAC ∴∠BAC=∠CAD 证法二：连接OC ∵ EF是过点C的⊙O的切线。 ∴ OC⊥EF ∴∠OCA+∠ACD=90 ∵ AD⊥EF ∴ ∠CAD+∠ACD=90 ∴ ∠OCA=∠CAD ∵ OA=OC ,∴∠OCA=∠BAC ∴ ∠BAC=∠CAD (2)∵ ∠B=30 ∴∠AOC=60 ∵AB=12 ∴ ∴l==2π 23、（2011•宁夏）已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若∠CAB=120，AB=2，求BC的值． 考点：切线的判定。 专题：综合题。 分析：（1）要证明PD是⊙O的切线只要证明∠DPO=90即可； （2）连接AP，根据已知可求得BP的长，从而可求得BC的长． 解答：证明：（1）∵AB=AC， ∴∠C=∠B， 又∵OP=OB，∠OPB=∠B， ∴∠C=∠OPB， ∴OP∥AD； 又∵PD⊥AC于D， ∴∠ADP=90， ∴∠DPO=90， ∴PD是⊙O的切线． 解：（2）连接AP， ∵AB是直径， ∴∠APB=90； ∵AB=AC=2，∠CAB=120， ∴∠BAP=60， ∴BP=， ∴BC=2． 点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 21. (本小题满分8分) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为的中点． （1）(4分)求证：BC与⊙O相切； （2）(4分)当AD= ；∠CAD=30时．求的长， 21. （1）证明：连接OD，则OD=OA， ∴∠OAD=∠ODA ∵D为的中点 ∴∠OAD=∠CAD ∴∠ODA=∠CAD ∴OD∥AC 又∵∠C=90，∴∠ODC=90，即BC⊥OD ∴BC与⊙O相切。 （2）连接DE，则∠ADE=90 ∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30，∴∠AOD=120 在Rt△ADE中，易求AE=4， ∴⊙O的半径r=2 ∴的长。 23、（2011•十堰）如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF． （1）求证：DE是半圆的切线： （2）迮接0D，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论． 考点：切线的判定；菱形的判定；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）。 专题：证明题；探究型。 分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得到∠OAD=∠ODA，由图形翻折变换的性质可得到∠CDA=∠EDA，再根据CD⊥AB即可得出结论； （2）连接OF，由垂径定理可得到OC=BC=OB=OD，由平行线的判定定理可得出OD∥AF，进而可得出△FAO是等边三角形，由等边三角形的性质可判断出四边形ODFA是平行四边形，由OA=OD即可得出结论． 解答：证明：（1）如图，连接OD，则OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵△AED由△ACD对折得到， ∴∠CDA=∠EDA， 又∵CD⊥AB， ∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90，D点在半圆O上， ∴DE是半圆的切线； （2）四边形ODFA是菱形， 如图，连接OF， ∵CD⊥OB， ∴OC=BC=OB=OD， 在Rt△OCD中，∠ODC=30， ∴∠DOC=60， ∵∠DOC=∠OAD+∠ODA， ∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30， ∴OD∥AF，∠FAO=60， 又∵OF=OA， ∴△FAO是等边三角形， ∴OA=AF， ∴OD=AF， ∴四边形ODFA是平行四边形， ∵OA=OD， ∴四边形ODFA是菱形． 点评：本题考查的是切线的判定、菱形的判定定理、圆周角定理、垂径定理及图形翻折变换的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 16．如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点， 使得AC＝3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD＝， 则线段BC的长度等于 ▲ ． 【答案】 【考点】圆的切线性质,勾股定理。 【分析】连接OD, 则.由AC＝3BC有OC=2BC=20B.∴在直角三角形CDO中, 根据勾股定理有 10、（2011•台州）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（ ） A、 B、 C、3 D、2 考点：切线的性质。 分析：因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．运用勾股定理求解． 解答：解：作OP⊥l于P点，则OP=3． 根据题意，在Rt△OPQ中， PQ==． 故选B． 点评：此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上． 13．（2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ） A．30 B．45 C．60 D．67.5 C D A O P B 第13题图 【解题思路】PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD 得∠COD=45、∠PCO=90。再由OA=OC，及外角知识得∠ACO=22.5； 又∠PCA+∠ACO=90，所以∠PCA=90-∠ACO=67.5。 另外也可考虑直径条件连结BC求解。 【答案】D 【点评】本题切线的性质和等边对等角及外角、余角等边角之间的关系。只要充分挖掘条件和图形中边角的内在联系就可顺利求解。 难度较小。 7、（2011•恩施州）如图，直线AB、AD与⊙O相切于点B、D，C为⊙O上一点，且∠BCD=140，则∠A的度数是（ ） A、70 B、105 C、100 D、110 考点：切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质。 分析：过点B作直径BE，连接OD、DE． 根据圆内接四边形性质可求∠E的度数；根据圆周角定理求∠BOD的度数；根据四边形内角和定理求解． 解答：解：过点B作直径BE，连接OD、DE． ∵B、C、D、E共圆，∠BCD=140， ∴∠E=180﹣140=40． ∴∠BOD=80． ∵AB、AD与⊙O相切于点B、D， ∴∠OBA=∠ODA=90． ∴∠A=360﹣90﹣90﹣80=100． 故选C． 点评：此题考查了切线的性质、圆内接四边形性质、圆周角定理、四边形内角和定理等知识点，难度中等． 连接切点和圆心是解决有关切线问题时常作的辅助线． 21、（2011•恩施州）如图，已知AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线，过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C，垂足为M． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）当BC=BD，且BD=6cm时，求图中阴影部分的面积（结果不取近似值）． 考点：切线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算。 分析：（1）连接OC，证明∠OCD=90．根据垂径定理得OD垂直平分BC，所以DB=DC．从而△OBD≌△OCD，得∠OCD=∠OBD=90； （2）阴影面积=S扇形OBC﹣S△OBC．根据切线长定理知△BCD为等边三角形，可求∠BOC的度数，运用相关公式计算． 解答：（1）证明：连接OC． ∵OD⊥BC，O为圆心， ∴OD平分BC． ∴DB=DC． ∴△OBD≌△OCD．（SSS） ∴∠OCD=∠OBD． 又∵AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线， ∴∠OCD=∠OBD=90， ∴CD是⊙O的切线； （2）∵DB、DC为切线，B、C为切点， ∴DB=DC． 又DB=BC=6， ∴△BCD为等边三角形． ∴∠BOC=360﹣90﹣90﹣60=120， ∠OBM=90﹣60=30，BM=3． ∴OM=，OB=2． ∴S阴影部分=S扇形OBC﹣S△OBC =﹣ =（cm2）． 点评：此题考查了切线的判定及性质、切线长定理、有关图形的面积计算等知识点，难度中等． 22、（2011•防城港）如图，△OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若D为OA的中点，阴影部分的面积为﹣，求⊙O的半径r． 考点：切线的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算。 专题：计算题。 分析：（1）连OC，由OA=OB，CA=CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，再根据切线的判定定理得到结论； （2）由D为OA的中点，OD=OC=r，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠A=30，∠AOC=60，，AC=r，则∠AOB=120，AB=2r，利用S阴影部分=S△OAB﹣S扇形ODE，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式得到关于r的方程，解方程即可． 解答：（1）证明：连OC，如图， ∵OA=OB，CA=CB， ∴OC⊥AB， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：∵D为OA的中点，OD=OC=r， ∴OA=2OC=2r， ∴∠A=30，∠AOC=60，AC=r， ∴∠AOB=120，AB=2r， ∴S阴影部分=S△OAB﹣S扇形ODE=•OC•AB﹣=﹣， ∴•r•2r﹣r2=﹣， ∴r=1， 即⊙O的半径r为1． 点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及扇形的面积公式． 29．（2011昭通，29，10分）如图11（1）所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相争于点C，AD⊥EF，垂足为D。 A O B C D E F A O B E G C D F （1） （2） 图11 （1）求证：∠DAC＝∠BAC; （2）若把直线EF向上平行移动，如图11（2）所示，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其它条件不变，这时与∠DAC相等的角是哪一个？为什么？ A O B C D E F A O B E G C D F 【答案】证明：连接OC ∵EF与⊙O相切 ∴OC⊥EF ∵AD⊥EF ∴AD∥OC ∴∠OCA＝∠DAC ∵OA＝OC ∴∠OCA＝∠BAC ∴∠DAC＝∠BAC （2）∠BAG与∠DAC相等，理由如下： 连接BC ∠B＝∠AGD ∵AB是直径，AD⊥EF ∴∠BCA＝∠GDA＝900 ∴∠B＋∠BAC＝900，∠AGD＋∠DAG＝900 ∴∠BAC＝∠DAG ∴∠BAC－∠CAG＝∠DAG－∠CAG 即∠BAG＝∠DAC O B A N C D M 21．（11辽阜新）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，AC＝CD，连接AD交BC于点M，延长MC到N，使CN＝CM． （1）判断直线AN是否为⊙O的切线，并说明理由； （2）若AC＝10，tan∠CAD＝，求AD的长． 【答案】 解：（1）AN是⊙O的切线 ………………1分 理由：∵AB为⊙O直径 O B A N C D M 2 1 ∴∠ACB＝90 ∴∠1＋∠2＋∠B＝90 ∵CN＝CM 即AC垂直平分MN ∴AM＝AN ∴∠1＝∠CAN ∵AC＝CD ∴∠D＝∠1＝∠CAN＝∠B ………………4分 ∴∠1＋∠2＋∠CAN＝90 即OA⊥AN于A ∴AN是⊙O的切线 ………………6分 （2）过点C作CE⊥AD于点E 在Rt△ACE中，∠ACE＝90 ∴CE＝AEtan∠CAD＝ AE ………………8分 ∵CE2＋AE2＝AC2 ∴( AE)2＋AE2＝102 ………………10分 ∴AE＝8 ∴AD＝2AE＝28＝16 ………………12分 25. （14分）如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=450，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上。 （1）证明：B、C、E三点共线； （2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM； （3）将△DCE绕点C逆时针旋转（00<<900）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。 25、（1）证明：∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=90 ∵ ∠DCE=90 ∴∠ACB＋∠DCE=180 ∴ B、C、E三点共线。 (2)证明：连接ON、AE、BD，延长BD交AE于点F ∵ ∠ABC=45，∠ACB=90 ∴ BC=AC，又∠ACB=∠DCE=90，DC=EC ∴ △BCD≌△ACE ∴ BD=AE，∠DBC=∠CAE ∴∠DBC＋∠AEC=∠CAE＋∠AEC=90 ∴ BF⊥AE ∵ AO=OB，AN=ND ∴ ON=BD，ON∥BD ∵ AO=OB，EM=MB ∴ OM=AE，OM∥AE ∴ OM=ON，OM⊥ON ∴ ∠OMN=45，又 cos∠OMN= ∴ (3) 成立，证明同（2）。 23. (本小题满分12分) 如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。 (1)求证：CD为⊙0的切线； (2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度. 23.（本小题满分12分） (1)证明：连接OC, 因为点C在⊙0上，0A=OC,所以∠OCA=∠OAC，因为CD⊥PA，所以∠CDA=90， 有∠CAD+∠DCA=90，因为AC平分∠PAE，所以∠DAC=∠CAO。 所以∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90。 又因为点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，所以CD为⊙0的切线． (2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90， 所以四边形OCDF为矩形，所以0C=FD，OF=CD. ∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x， ∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得. 即，化简得： 解得或。 由AD
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- 考题 数学 分类 全集 64 切线
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